Analizar la función, calcular la recta tangente en el punto (...), y determinar el área delimitada por (...)

ENUNCIADO. Sea la función real, de una variable real, $f(x)=x^3-4\,x$. Se pide:
a) Calcular los extremos relativos de la función y clasificarlos según su naturaleza. ¿ Cuáles son los intervalos de crecimiento/decrecimiento ? ¿ Está acotada esta función ?
b) Calcular las raíces de la función y la ordenada en el origen
c) ¿ Tiene esta función algún punto de inflexión ? En caso afirmativo, calcular sus coordenadas. Determinar los intervalos de concavidad/convexidad
d) Representar la gráfica de la función
e) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=-2$
f) Calcular el área de la región del plano delimitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas

SOLUCIÓN.
La función propuesta es un polinomio, su dominio de definición está formado por todos los números reales, y es continua y derivable en todo su dominio.
a)
Sabemos que el conjunto de extremos relativos es $\{x \in \mathbb{R}: f'(x)=0\}$. Entonces, $f'(x)=3\,x^2-4$; por tanto ( imponiendo la condición ), $$3\,x^2-4 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{*}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\;\text{ó}\; x_{2}^{*}=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ Veamos, ahora, que tipo de extremos relativos son; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos ( pues es fácil derivar este tipo de funciones ). La función segunda derivada es $f''(x)=6\,x$. Como $f''(-2/\sqrt{3}) \prec 0$, de ello se sigue que $x_{1}^{*}=-2/\sqrt{3}$ corresponde a un máximo local, y la ordenada de dicho máximo es $f(-2/\sqrt{3})\approx 3{,}1$; por otra parte, $f''(2/\sqrt{3}) \succ 0$, por lo que $x_{2}^{*}=2/\sqrt{3}$ corresponde a un mínimo local, y la ordenada de dicho máximo es $f(2/\sqrt{3})\approx -3{,}1$

La función crece en los intervalos $(-\infty\,,\,-2/\sqrt{3})\subset \mathbb{R}$ y $(2/\sqrt{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$; por otra parte, decrece en el intervalo $(-2/\sqrt{3}\,,\,2/\sqrt{3})\subset \mathbb{R}$

A pesar de tener un máximo y un mínimo locales, observemos que la función no está acotada, ni inferior ni superiormente ( $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$ ), por lo que no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto; de ello se sigue, también, que el recorrido de la función está formado por todos los números reales.

b)
El conjunto de raíces de la función viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: f(x)=0\}$. Imponiendo la condición, $$x^3-4\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2-4)=0 \Leftrightarrow x_1=0\;\text{ó}\;x_2=-2\;\text{ó}\;x_3=2$$ encontrando, pues, tres raíces.

Nota: Observemos que la función es impar, pues $f(-x)=-x^3-4\,(-x)=-x^3+4\,x=-f(x)$, y ello explica el por qué las tres raíces están igualmente espaciadas, siendo dos de ellas iguales en valor absoluto, y la tercera cero; por otra parte los puntos del plano que corresponden al máximo y el mínimo relativos son simétricos con respecto al origen de coordenadas. Esta circunstancia facilita la representación gráfica ( que realizaremos en el cuarto apartado ).

La ordenada en el origen viene dada por la imagen de $x=0$, esto es, es $f(0)=0^3-4\cdot 0=0$, lo cual indica que la gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas.

c)
El conjunto de puntos de inflexión viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: f''(x)=0\}$. Imponiendo la condición, $6x=0 \Leftrightarrow x=0$, luego sólo hay un punto de inflexión, que corresponde al punto $D$ del gráfico ( el origen de coordenadas ). Hay un intervalo de concavidad, que es $(-\infty\,,\,0) \subset \mathbb{R}$; y un intervalo de convexidad, que es $(0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$

d)

Los puntos $A$ y $B$ corresponden a los extremos relativos encontrados; y los puntos $C$, $D$ y $E$ a los puntos de intersección con el eje de abscisas ( $D$ también interseca al eje de ordenadas ).

e)
La recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $0$ tiene por ecuación $y=m\,x+k$; donde $k$, aquí, es $0$, pues es evidente que pasa por el origen de coordenadas. Por otra parte $m=f'(0)=(3\,x^2-4)_{x=0}=-4$. Así, $\text{r.t. en x=0}: y=-4\,x$

f)
El área del dominio de integración ( que vemos en la figura ), por simetría, puede calcularse de la forma $$\mathcal{A}=2 \cdot \displaystyle \int_{-2}^{0}\,f(x)\,dx$$

Nota: Cuidado. El valor de la integral definida $\displaystyle \int_{-2}^{2}\,f(x)\,dx$ no da el área pedida, pues por tratarse de un dominio simétrico y ser la función impar, esta integral es nula ( la región de la derecha y la de la izquierda dan igual contribución en valor absoluto, pero una es negativa y la otra positiva ).

Calculando la integral indefinida, vemos que una primitiva de la función $f(x)=x^3-4\,x$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-2\,x^2$; por lo que, aplicando la regla de Barrow, $$\displaystyle \int_{-2}^{0}\,f(x)\,dx=F(0)-F(-2)=0-(\dfrac{1}{4}(-2)^4-2\cdot (-2)^2)=4$$ por consiguiente $$\mathcal{A}=2 \cdot 4 = 8 \; \text{unidades de área}$$

$\square$