Calcular el intervalo de confianza de estimación de la media y el máximo error en la estimación

ENUNCIADO. En una muestra aleatoria simple de $200$ personas, se ha medido la aptitud para una determinada tarea, y las puntuaciones ( en una cierta escala ) tienen una
media de $33$ puntos. Sabemos, también, que la desviación típica ( de dicha característica ), en la población, es de $13$ puntos.
a) Calcular a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del $95\,\%$, para la estimación de la media de la población.
b) ¿ Cuál es el máximo error cometido en dicha estimación ?.

SOLUCIÓN. El estimador ( estadístico ), $\bar{X}$, de la media de la población $\mu$, sigue una distribució $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$ ( de acuerdo con el Teorema Central del Límite ). Así, para un nivel de confianza $1-\alpha=0{,}95$ ( y por tanto con un nivel de riesgo $\alpha=0{,}05$ ), el intervalo de confianza correspondiente a la estimación de la media de la población $\mu$ es $$\text{IC}=(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$$ donde $E=z_{\alpha/2}\cdot \sigma/\sqrt{n}$ es el máximo error en la estimación ( la amplitud del intervalo de confianza ); $z_{\alpha/2}$ y $-z_{\alpha/2}$ son los valores de las abscisas críticas ( en el intervalo expresado en la variable tipificada $Z$ ) y que encontraremos en las tablas $N(0,1)$, y $\bar{x}$ representa el valor de la media medido en la muestra.

Calculemos el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}$: Como $\alpha/2=0{,}05/2=0{,}025$, entonces $F(z_{\alpha/2})=P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-\alpha/2=0{,975}$; y, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $N(0,1)$, encontramos que $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

a)
Así, $E=z_{\alpha/2}\cdot \sigma/\sqrt{n}=1{,}96 \cdot 13/\sqrt{200 }\approx 1{,}8$, y, por tanto, los extremos del intervalo de confianza son $33-1{,}8=31{,}2$ y $33+1{,}8)=34{,}8$, con lo cual el intervalo de confianza para la estimación de la media poblacional $\mu$ al $95\,\%$ de confianza es $\text{IC}=(31{,}2\,,\,34{,}8)$

b)
El máximo error cometido en la estimación es $E$, esto es, $1{,}8$. $\square$