Discutir en función de los valores de un parámetro y, después, resolver el sistema para un valor dado de dicho parámetro

ENUNCIADO. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
2\,x&-&y&+&a\,z&=&0\\
x&+&2\,y&+&z&=&-1\end{matrix}\right.$$
donde $a \in \mathbb{R}$ es un parámetro. \par Se pide:
a) Discutir el sistema, en función de los valores de $a$
b) Resolver el sistema para $a:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
Intercambiamos la segunda y la tercera ecuación ( por comodidad ) y, a continuación, procedemos a reducir el sistema por el método de Gauss
$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
2\,x&-&y&+&a\,z&=&0\\
x&+&2\,y&+&z&=&-1\end{matrix}\right.
\sim \left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
x&+&2\,y&+&z&=&-1\\
2\,x&-&y&+&a\,z&=&0\end{matrix}\right. $
mediante las operaciones elementales entre filas $-e_1+e_2 \rightarrow e_2$ y $-2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$ obtenemos el siguiente sistema equivalente
$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
&&y&+&4\,z&=&-2\\
&&-3\,y&+&(6+a)\,z&=&-2\end{matrix}\right. $
y mediante la operación elemental entre filas $3\,e_2+e_3 \rightarrow e_3$ llegamos al sistema equivalente escalonado
$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
&&y&+&4\,z&=&-2\\
&&&&(18+a)\,z&=&-8\end{matrix}\right. $
Entonces, si $a=-18$, obtenemos una contradicción en la última ecuación: $0=-8$, luego para ese valor de $a$, el sistema es incompatible; y, es evidente, que para cualquier otro valor de $a$ distinto de $-18$, el sistema es compatible ( las tres ecuaciones son independientes ) y determinado ( el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas, que es $3$ ).

b)
Si $a=-1 \neq -18$, el sistema es compatible determinado ( la solución consta de un sólo valor para cada variable ). Vamos a resolverlo.
$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&-&3\,z&=&1\\
&&y&+&4\,z&=&-2\\
&&&&17\,z&=&-8\end{matrix}\right. $
De la última ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{8}{17}$; y, sustituyendo en la segunda ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=-2-4\cdot (-\dfrac{8}{17})=-\dfrac{2}{17}$. Finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, obtenemos $x=1-(\dfrac{-2}{17})+3\cdot ( -\dfrac{8}{17})=-\dfrac{5}{17}$
$\square$