Distribución de la media muestral

ENUNCIADO. La variable aleatoria $X$ de una cierta característica de una población sigue una distribución $N(10\,,\,3)$. Se toma una muestra de la población, de tamaño $50$. Se pide:
a) ¿ Qué tipo distribución corresponde al estadístico \emph{media muestral} ? ¿ Cuáles son los valores de los parámetros de la misma ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la media medida en dicha muestra, $\bar{x}$, sea mayor que $12$ ?

SOLUCIÓN.
a) Siendo la variable aleatoria $X$ ( de la población ) una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$, donde $\mu=10$ y $\sigma=3$, podemos afirmar que, de acuerdo con el Teorema Central del Límite, la distribución del estadístico media muestral, $\bar{X}$, es $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$, esto es, $N(10\,,\,\dfrac{3}{\sqrt{50}})$.

b) Así pues, $P\{X \succ 12\} \overset{\text{tipificando}}{=} P\{Z \ge \dfrac{12-10}{3/\sqrt{50}}\}\overset{\text{4 cifras decimales}}{\approx} P\{Z \ge 4,7140\}$
$=1-P\{Z \le 4,7140\}=1-F(4,7140) \overset{\text{tablas}\;N(0,1)}{\approx} 1-1 = 0$, donde $F(z)$ denota la función de distribución de probabilidad de la variable tipificada $Z$, que es $N(0,1)$
$\square$