Estimación de la media de la población por intervalo de confianza

ENUNCIADO. Se sabe que la variable aleatoria asociada a una cierta característica de una población sigue una distribución $N(\mu\,,\,2{'}51)$. Se ha extraído ( de la población ) una muestra aleatoria simple, al objeto de realizar una estimación por intervalo ( de confianza ) de la media de la población $\mu$, al $95\,\%$ de confianza. El intervalo de confianza de $\mu$ ha resultado ser $$\text{IC}=(5{'}34\,,\,5{'}86)$$ Se pide:
a) El valor de $\bar{x}$ ( media medida en la muestra )
b) El máximo error, $E$, que se comete en la estimación de $\mu$
c) El tamaño, $n$, de la muestra

SOLUCIÓN.
a) La media medida en la muestra es igual al centro del intervalo de confianza, luego $$\bar{x}=\dfrac{5{'}34+5{'}86}{2}=5{'}6$$
b) El máximo error en la estimación es la amplitud del intervalo de confianza, por tanto $$E=\dfrac{5{'}86-5{'}34}{2}=0{'}26$$
c) Despejando $n$ la fórmula del error, $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, obtenemos $$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot \sigma}{E}\right)^2 \quad \quad (1)$$
Sólo nos falta determinar el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}$, que despejamos de $1-\alpha=0{'}95$, obteniendo $\alpha=0{'}05$ y, por tanto, $\alpha/2=0{'}025$. Ahora, sabiendo que $F(z_{\alpha/2})\equiv P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0{'}025=0{'}975$, consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ( siendo $Z$ una d. $N(0,1)$ ), encontramos que $z_{\alpha/2}=1{'}96$

Sustituyendo, pues, los datos en (1), obtenemos el tamaño de la muestra $n=\left( \dfrac{1{'}96 \cdot 2{'}51}{0{'}26} \right)^2 \approx 359$ ( aproximando por exceso a las unidades ). $\square$