Un problema parecido al de distribuir bolas iguales en urnas: ¿ De cuántas maneras podemos expresar $8$ como suma de tres números enteros no negativos ?

ENUNCIADO:
¿ De cuántas maneras podemos expresar $8$ como suma de tres números enteros no negativos ?

SOLUCIÓN:
Este problema puede resolverse pensando en el problema patrón - ya estudiado - que corresponde a distribuir $n$ bolas iguales ( no identificables una de otra ) en $m$ urnas ( distintas ). En efecto, ahora, las bolas representan $1$os, que són las ocho unidades de la cantidad dada; y las urnas, vendrían a hacer el papel de cada uno de los tres sumandos ( los tres enteros no negativos ) de los habla el enunciado.

Así, por ejemplo, una de las posibilidades vendría dada por
[1111|1|111]
representación que corresponde a 8=4+1+3

Otra posibilidad:
[11111||111]
representación que corresponde a 8=5+0+3
...
etcétera

En esta representación, hacemos uso de tres compartimentos ( tres urnas, esto es, los tres sumandos ), de izquierda a derecha: primer, segundo y tercer sumando. Los dos corchetes de cierre son símbolos fijos. Sin embargo, los dos tabiques separadores, |, y los cuatro $1$os ( cuatro bolas ) los podemos permutar en la ristra de símbolos. Así, otra posible distribución sería, pongamos que
[||11111111]
significando que las dos primeras urnas estarían vacías y los ocho $1$os estarían corresponderían al tercer sumando; es decir, $8=0+0+8$.

Démonos cuenta, ahora, que nuestro problema queda reducido a un problema de permutaciones de $10$ símbolos, dos símbolos "|" ( idénticos ) que sirven para separar los tres compartimentos ( se requieren dos para separar tres compartimentos dispuestos en hilera ) y ocho $1$os ( símbolos idénticos ) en una ristra de $8+3-1$ posiciones y cuya solución es $\frac{(8+(3-1))!}{8!\cdot (3-1)!}=45$, que también podemos escribir en forma de número combinatorio de la forma $\binom{8+(3-1)}{3-1}$
o lo que es lo mismo, como $\binom{8+(3-1)}{8}$ ( por las propiedades de los números combinatorios ).

Decimos, también, que ( generalizando ) este problema [ encontrar de cuántas maneras se puede expresar un número entero no negativo como suma de un conjunto de números enteros no negativos menores que el dado ] es del tipo de los de combinaciones con repetición de $n$ objetos indistinguibles ( los 'unos' que, sumados, dan la cuantía del número ) distribuidos en $m$ grupos ( número de sumandos ), y que notamos de la forma $\displaystyle \binom{n+(m-1)}{m-1}=\binom{n+(m-1)}{n}$
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $m$ clases (o grupos), $CR_{m,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{m}{n}\right)$
$\square$