Dados dos sucesos $A$ y $B$, vamos a justificar la siguiente propiedad: $$P(A^c|B)=1-P(A|B)$$

Dados dos sucesos $A$ y $B$, vamos a justificar la siguiente propiedad: $$P(A^c|B)=1-P(A|B)$$

Por la definición de probabilidad condicionada, $P(A^c|B)=\frac{P(A^c\cap B) }{P(B)}$. Ahora bien, sabemos que $P(A^c \cap B)=P(B)-P(A \cap B)$, con lo cual podemos escribir el segundo miembro de la primera igualdad de la forma $$\frac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)}$$ que es igual a $$1-\dfrac{P(A \cap B}{P(B)}$$ y, volviendo a aplicar la definición de probabilidad condicionada, éste es igual a $1-{P(A|B)}$, que es a lo que queríamos llegar. $\square$

[nota del autor]