Sobre la definición de probabilidad condicionada

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se define la probabilidad de $A$ condicionado por $B$, y se escribe $P(A|B)$ como $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ . El propósito de estas notas es el de justificar el por qué se hace así.

Es evidente que $P(A|B)$ debe ser proporcional a $P(A \cap B$, por tanto hay una constante de proporcionalidad, $k$, tal que $P(A|B)=k\,P(A \cap B)$   (1). Ahora bien, sabemos que si $A:=\Omega$ ( el espacio muestral ), entonces también se cumplirá que $P(\Omega|B)=k\,P(\Omega \cap B)$, pero como $\Omega \cap B = B$, el segundo miembro de la igualdad anterior es $P(\Omega \cap B)=P(B)$ y, además, el primer miembro, $P(\Omega | B )$, es $1$ ( por representar $\Omega$ el suceso seguro ). Así pues, despejando $k$, vemos que $k=1/P(B)$. Y sustituyendo el valor de la constante $k$ que acabamos de determinar en (1) podemos escribir finalmente $$P(A|B)=\frac{1}{P(B)}\cdot P(A \cap B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ , quedando así justificada la forma de definir la probabilidad condicionada $P(A|B)$. $\square$

[nota del autor]