Dados dos sucesos $A$ y $B$, $$P(A|B^c) \neq 1-P(A|B)$$

DEMOSTRACIÓN:   Nos preguntamos si es cierta la igualdad $$P(A|B^c) \overset{?}{=} 1-P(A|B)$$
La respuesta es negativa. Vamos a justificarlo.

Por la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir el primer miembro de la forma $$P(A|B^c)=\frac{P(A\cap B^c) }{P(B^c)}=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} \quad \quad (1)$$ .

Por otra parte, el segundo miembro lo podemos escribir de la forma
$$1-P(A|B)=1-\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)-P(A\cap B)}{P(B)} \quad \quad (2)$$ .

Comparando (1) y (2) y teniendo en cuenta que $P(B) \neq 1-P(B)$ y que $P(B)$ no tiene porque ser igual a $P(A)$ concluimos que dichos miembros no tienen el mismo valor, luego queda probado que no es cierta la igualdad.
. $\square$

[nota del autor]