Distribuyendo $n$ bolas iguales en $r$ urnas

ENUNCIADO:
¿ De cuántas maneras podemos distribuir $n$ bolas iguales ( no identificables una de otra ) en $r$ urnas ( distintas ) ?

SOLUCIÓN: Hemos comentado en otros ejercicios que hay $r^n$ maneras de distribuir $n$ bolas distintas en $r$ urnas ( recordemos que se contempla la posibilidad que haya urnas que no reciban ninguna bola); así, un problema del mismo tenor es el de encontrar el número de maneras de distribuir $n$ lapices de colores distintos entre $r$ niños.

No debemos confundir ese problema con el que, ahora, se nos plantea ( las bolas son inidentificables, indistinguibles unas de otras ). Vamos a ver que la solución a este otro problema difiere notablemente a la del otro problema ( con bolas distinguibles unas de otras ).

Primero, vamos a ensayar con $4$ bolas y $3$ urnas para intentar generalizar la solución que encontraremos.

Podemos codificar las distribuciones de las bolas ( iguales todas ellas ) como explicaremos a continuación.

Consideremos dos bolas en la primera urna ( las urnas son perfectamente identificables entre ellas ); una en la segunda y una en la tercera. Podemos representarlo así
[**|*|*]

En esta representación, hacemos uso de tres compartimentos ( tres urnas ), de izquierda a derecha: primera, segunda y tercera urna. Los dos corchetes de cierre son símbolos fijos. Sin embargo, los dos tabiques separadores, |, y los cuatro asteriscos ( cuatro bolas ) los podemos permutar en la ristra de símbolos. Así, otra posible distribución sería, pongamos que
[||****]
significando que las dos primeras urnas estarían vacías y las cuatro bolas estarían en la tercera urna.

Llegados a este punto esperamos que el lector se dé ya perfecta cuenta de que el problema queda reducido a un problema de permutaciones seis símbolos, dos símbolos "|" ( idénticos ) que sirven para separar los tres compartimentos ( se requieren dos para separar tres compartimentos dispuestos en hilera ) y cuatro símbolos asterisco ( idénticos ) en una ristra de $4+3-1$ posiciones y cuya solución es $\frac{(4+(3-1))!}{4!\cdot (3-1)!}$, que también podemos escribir en forma de número combinatorio de la forma $\binom{4+(3-1)}{3-1}$
o lo que es lo mismo, como $\binom{4+(3-1)}{4}$ ( por las propiedades de los números combinatorios ).

Decimos que este problema de encontrar el número de ordenaciones posibles que aparecen al distribuir $n$ objetos idénticos entre $r$ urnas es el de combinaciones con repetición y su solución viene dada por $$\dfrac{(n+(r-1))!}{n!\cdot (r-1)!}=\binom{n+r-1}{n}=\binom{n+r-1}{r-1}$$


OBSERVACIÓN:     Los problemas de distribución de bolas en urnas son muy importantes, pues permiten establecer analogías con muchos otros. Uno de ellos ( que hemos tratado en otros artículos ) es el de calcular el número de maneras de distribuir $n$ bolas distintas en $r$ urnas ( desde luego, distintas ) y cuya solución, que responde a un esquema de variaciones con repetición, $r^n$, junto con este otro, que acabamos de presentar, esto es, el de distribuir $n$ bolas idénticas ( queriendo decir con ello que no podemos distinguir unas de otras ) en $r$ urnas ( por supuesto, distintas ) y cuya solución es la que hemos expuesto en este ejercicio, $\binom{n+r-1}{r-1}$, son de gran importancia en Física Estadística, pues la primera forma de distribuir las bolas corresponde al constructo que es la base de la estadística clásica de Maxwell-Boltzmann ( aplicable a las moléculas de un gas, por ejemplo ), y la segunda está en la base de las estadísticas cuánticas de Bose-Einstein ( para los bosones, que son partículas con espín entero, como por ejemplo, los fotones ) y de Fermi-Dirac ( para los fermiones, que son partículas con espín semientero, como por ejemplo los electrones ).


Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $r$ clases, $CR_{r,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{r}{n}\right)$
$\square$