Cuatro personas se montan en el ascensor de un edificio de diez plantas (...)

Enunciado:
Cuatro personas se montan en el ascensor de un edificio de diez plantas. El ascensor sube hasta la décima planta, realizando paradas intermedias. Se pide:
a) La probabilidad de que al menos dos personas se bajen en la misma planta
b) La probabilidad de que al menos dos personas se bajen en la tercera planta

Solución:
Ante el desconocimiento de los destinos de planta de las cuatro personas, supondremos que las éstas se bajan al azar, y, además, que cada una de ellas decide la planta en la que baja de modo independiente a las decisiones de las demás. En estas condiciones, vamos a dar respuesta a las preguntas:

a)
Sea $A$ el sucesos "al menos dos personas se bajan en la misma planta". Así, el suceso $A^c$ representa el suceso contrario: "ninguna de las cuatro coinciden en la planta de destino". Calcularemos, primero, la probabilidad de $A^C$ y, a partir de ésta, la probabilidad de $A$.

De entre las diez plantas, la primera persona que escojamos puede elegir planta de diez maneras; por lo tanto la segunda puede elegir la planta donde bajarse de entre $10-1$ ( de un total de $10$); la tercera, de $10-2$ ( de un total de $10$ ) y la cuarta de $10-3$ ( de un total de $10$ ). Así, $$P(A^c)=\dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{10}=\dfrac{63}{125}$$
o lo que es lo mismo $$P(A^c)=\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$

Con lo cual, por la propiedad de la probabilidad del contrario, podemos escribir
$$P(A)=1-P(A^c)$$
es decir
$$P(A)=1-\dfrac{V_{10,4}}{VR_{10,4}}$$
esto es
$$P(A)=1-\dfrac{63}{125}=\dfrac{62}{125} \approx 0,496$$

b)
Denotemos por $B_2$ la probabilidad de que dos personas se bajen en la tercera planta; por $B_3$, la probabilidad de que tres personas se bajen en la tercera planta, y por $B_4$ la probabilidad de que las cuatro personas se bajen en la tercera planta.

Entonces, la probabilidad pedida es $$P(B_2)+P(B_3)+P(B_4) \quad \quad \quad (1)$$

Calcularemos ahora cada uno de estos tres términos. Denotaremos por $p$ a la probabilidad de que una persona elegida al azar se baje en la tercera planta; entonces, la probabilidad de que una persona elegida al azar no se baje en la tercera planta es $1-p$. Por el principio de Laplace, $p=\dfrac{1}{10}$ y por tanto $1-p=\dfrac{9}{10}$.

Así, teniendo en cuenta que podemos elegir dos personas que se bajen en la tercera planta de $\binom{4}{2}$ maneras distintas; tres, de $\binom{4}{3}$, y cuatro de $\binom{4}{4}$, y aplicando el principio de elecciones independientes entre el grupo de personas que se bajan en la tercera planta y el grupo de las que no se bajan, podemos escribir
$$P(B_2)= \binom{4}{2}\,p^2\,(1-p)^{4-2}=6\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)^{2}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^2=\dfrac{243}{5000}$$
$$P(B_3)= \binom{4}{3}\,p^3\,(1-p)^{4-3}=4\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)^{3}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^{1}=\dfrac{9}{2500}$$
$$P(B_4)= \binom{4}{4}\,p^4\,(1-p)^{4-4}=1\cdot \left(\dfrac{1}{10}\right)^{4}\cdot \left(\dfrac{9}{10}\right)^{0}=\dfrac{1}{10000}$$

Con lo cual, de (1), obtenemos que la probabilidad pedida es
$$\dfrac{243}{5000}+\dfrac{9}{2500}+\dfrac{1}{10000}$$
esto es
$$\dfrac{523}{10000} \approx 0,0523 $$

$\square$

[nota del autor]