Un ejemplo de resolución de problema de programación lineal

Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$ calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Enunciado:
Sabiendo que $\{x=2,y=1,z=-1\}$ es la solución del sistema compatible determinado
    $\left.\begin{matrix}a\,x &+ &b\,y&+&c\,z&=&a+c \\ b\,x &- &y&+&b\,z&=&a-b-c\\ c\,x &- &b\,y&+&2\,x&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
calcular el valor de los parámetros $a$, $b$ i $c$.

Resolución:
Sustituyendo las variables por los valores respectivos de la solución obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son $a$, $b$ y $c$
    $\left.\begin{matrix}2\,a &+ &b&-&c&=&a+c \\ 2\,b &- &1&-&b&=&a-b-c \\ 2\,(c+2) &- &b&&&=&b \\ \end{matrix}\right\}$
y, ordenándo sus ecuaciones, podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ a & -&2\,b &- &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Procedemos a reducirlo por Gauss ( para obtener el sistema escalonado inferiormente, equivalente al original ):
con
    $e_2 \leftarrow e_2-e_1$
podemos escribirlo de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &+ &b&-&2\,c&=&0 \\ & &-3\,b &+ &c&=&-1 \\ & &2\,b &- &2\,c&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
y permutando el orden de las incógnitas $b$ y $c$ llegamos a
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & &-2\,c &+ &2\,b&=&4 \\ \end{matrix}\right\}$
Finalmente, realizando la siguiente operación elemental
    $e_3 \leftarrow 2\,e_2+e_3$
puede escribirse de la forma
    $\left.\begin{matrix}a &-& 2\,c&+&b&=&0 \\ & &c &- &3\,b&=&-1 \\ & && &-4\,b&=&2 \\ \end{matrix}\right\}$
que, siendo el número de ecuaciones no identicamente nulas igual a $3$, todas ellas son linealmente independientes, luego el rango del sistema es $3$, y, como es igual al número de incógnitas, por el Teorema de Rouché, la solución del sistema es única ( s. compatible determinado ). Veamos su solución.
Despejando $b$ de la tercera ecuación,
    $b=-\dfrac{1}{2}$
y sustituyendo éste en al segunda,
    $c=3\cdot \big(-\dfrac{1}{2}\big)-1=-\dfrac{5}{2}$
y, finalmente, sustituyendo ambos resultados en la primera,
    $a=2\cdot \big(-\dfrac{5}{2}\big)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{9}{2}$
$\square$

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ i $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$ Se pide: (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla $A\,B=B\,A$ (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que $A^2=2\,A$

Enunciado:
Sean las matrices
    $A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
    $B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}$
Se pide:
  (a) Calcular el valor de los parámetros $a$ i $b$ tales que se cumpla
    $A\,B=B\,A$
  (b) Determinar el valor del parámetro $a$ tal que
    $A^2=2\,A$

Resolución:
  Resolución de (a):
Calculamos los productos $A\,B$ i $B\,A$
    $A\,B=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+a\,b & -a\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
    $B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ b & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 3\,a\\ 2\,b+2 & a\,b\end{pmatrix}$
Entonces, igualando coeficiente a coeficiente, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left\{\begin{matrix} 6+a\,b&=&6 \\ -a&=&3\,a \\ -6&=&2\,b+2 \\ 0&=&a\,b\\\end{matrix}\right.$
La primera ecuació es la misma que la cuarta, que nos dice $a$ a o bé $b$ han de ser zero;
de la segunda, vemos que$a=0$; y, de la tercera, deducimos $b=4$.
Luego deducimos que
    $A\,B=B\,A$
y que los elementos de ambas matrices son:
    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$
y
$B=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}$

Combrobación de (a):
En efecto, realizando los productos, $A\,B$ y $B\,A$
vemos que se obtiene la misma matriz
$A\,B=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$
$B\,A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ -4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 0\\ -6 & 0\end{pmatrix}$

  Resolución de (b):
Calculando el valor de los dos miembros de la igualdad,
    $A^2=2\,A$
vemos que se llega al mismo resultado; en efecto:
    $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\,a & 2\,a\\ -4 & -2\,a\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & a\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2\,a\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
y, teniendo en cuenta que el valor de los elementos de iguales índices, en ambas matrices resultantes, debe ser el mismo, tenemos que


    $\left\{\begin{matrix} 4-2\,a&=&4 \\ 2\,a&=&2\,a \\ 0&=&-2\,a \\ \end{matrix}\right.$

Como la primera ecuación es la misma que la tercera, de ésta, vemos que $a=0$. En cuanto a la segunda, se trata de una ecuación trivial, luego es compatible concualquier valor de $a$; por tanto, para que se cumpla la condición pedida, la matriz $A$ debe ser de la forma

    $A=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}$

    Comprobación de (b):
Calculando el resultado de ambos miembros de la igualdad para $a=0$, debe verificarse que $A^2$ i $2\,A$ son la misma matriz; en efecto
    $A^2=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$
    $2\,A=2\,\begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ -4 & 0\end{pmatrix}$

$\square$

[nota del autor]

Teorema de Rouché-Frobenius

Proposición (Teorema de Rouché-Frobenius):
Sea $A\,X=B$ un sistema de ecuaciones lineales donde $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$ -- siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ -- es la matriz de los coeficientes del sistema; $X \in \mathcal{M}_{n \times 1}$ es la matriz columna de las variables del sistema; y $B \in \mathcal{M}_{m \times 1}(\mathbb{K})$, la matriz columna de los términos independientes. Sea $(A|X) \in \mathcal{M}_{m \times (n+1)}(\mathbb{K})$, la matriz ampliada. Entonces, de acuerdo con los rangos de la matriz de los coeficientes, de la matriz ampliada y del número de incógnitas del sistema de ecuaciones, podemos distinguir los siguientes casos:

1. Si $\text{rg}(A)=\text{rg}(A|B)$ ( cantidad que denotaremos por $r$ ), el sistema es compatible y, en este caso:

   • Si $r=n$ el sistema es c. determinado

   • Si $r \prec n$, el sistema es c. indeterminado ( con $n-r$ variables secundarias y r variables principales )

2. Si $\text{rg}(A)\neq \text{rg}(A|B)$ -- y si es así, necesariamente $\text{rg}(A)$ debe ser menor que $\text{rg}(A|B)$ --, el sistema es incompatible.

$\square$

Propiedades de la inversión de matrices

Recordemos algunas propiedades de la inversión de matrices regulares de orden $n$. Sean $A \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo ( como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ ). Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

1. $(A^{-1})^{-1}=A$

2. $(A^{-1})^t=(A^{t})^{-1}$

3. $(A\,B)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1}$

Observación:

    ¡ Cuidado !:   $(A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}$

[nota del autor]

Propiedades de la trasposición de matrices

Recordemos algunas propiedades de la trasposición de matrices. Sean $A,B \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$, siendo $\mathbb{K}$ un cuerpo ( como, por ejemplo, $\mathbb{R}$ ). Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

1. $(A^t)^{t}=A$

2. $(A+B)^t=A^t+B^t$

3. $(A\,B)^{t}=B^{t}\,A^{t}$

[nota del autor]

Sean $A$ y $B$ matrices regulares de $\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Enunciado:
Sean $A$ y $B$ matrices regulares de orden $n$. Demostrar que la igualdad $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ no es cierta.

Resolución:
Refutaremos la afirmación buscando un contraejemplo. Es fácil encontrar uno: si elegimos $A$ y $B$ ( matrices regulares ) tales que $A+B$ sea igual a la matriz nula ( es decir $a_{ij}=-b_{ij}; \forall i,j=1,\ldots,n$ ), al ser ésta no regular ( no invertible ), vemos que ni siquiera existe $(A+B)^{-1}$, quedando demostrado así que la afirmación del enunciado es falsa. $\square$

[nota del autor]

La matriz inversa de una matriz regular de orden n es única ( ejercicio de demostración por contradicción )

Enunciado:
Sea $A$ una matriz regular de orden $n$. Demostrar que la matriz inversa de $A$ es única.

Resolución:
Demostraremos la proposición por el método de contradicción ( o reducció al absurdo ). Sean $B$ y $C$ dos matrices regulares de orden $n$ tales que $A \neq B$, siendo, ambas, inversas de $A$; es decir: $A\,B=B\,A=I$   (1) y $A\,C=C\,A=I$   (2). Entonces, de (1), multiplicando la igualdad $A\,B=I$ por $C$ por la izquierda, obtenemos, $C\,A\,B=C\,I$; y teniendo en cuenta (2), se deduce de ello que $I\,B=C\,I$, luego $B=C$, en contra de lo supuesto, luego al tener que negar la hipótesis de partida, queda demostrado que la matriz de una matriz $A$ regular es única. $\square$

[nota del autor]