Programación lineal

ENUNCIADO. Considérese la región del plano $S$ definida por $$S=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x+6y\ge 6;5x-2y\ge -2;x+3y\le 20;2x-y\le 12\}$$
a) Represéntese gráficamente la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Determínense los puntos en los que la función $f(x,y)=4x-3y$ alcanza sus valores máximo y mínimo en $S$, indicando el valor de $f(x,y)$ en dichos puntos

SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-\dfrac{1}{6}\,x&+&1 \\ y&\le &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ y&\le&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3} \\ y&\ge&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:y&\ge&-\dfrac{1}{6}\,x&+&1 \\ r_2:y&\le &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ r_3:y&\le&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3} \\ r_4:y&\ge&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$$

Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,1)$ y $Q_1(6,0)$; para $r_2$, $P_2(0,1)$ y $Q_2(-2/5,0)$; para $r_3$, $P_3(0,20/3)$ y $Q_3(20,0)$; y, para $r_4$, $P_4(0,-12)$ y $Q_4(6,0)$ . Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:

En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que

$A=r_1 \cap r_4$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{6}\,x&+&2 \\ y&=&2x&-&12 \end{matrix}\right.$

$B=r_1 \cap r_2$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{6}\,x&+&2 \\ y&= &\dfrac{5}{2}x&+&1 \end{matrix}\right.$

$C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&= &\dfrac{5}{2}x&+&1 \\ y&=&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.$

y $D=r_3 \cap r_4$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&-\dfrac{1}{3}\,x&+&\dfrac{20}{3}\\ y&=&2\,x&-&12 \end{matrix}\right.$

Nota: Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.

b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=4x-3y$ viene descrita por $k=4x-3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{4}{3}x+(-\dfrac{k}{3})$, con un valor concreto de $k$ para cada una.

En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{4}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma, de forma que barra todos los puntos de la región factible, vemos que $A(6,0)$ corresponde al mínimo de $-\dfrac{k}{3}$ y, por tanto, al máximo de $k$ ( esto es, de $f(x,y)$ ); por otra parte, $C(2,6)$ corresponde al máximo de $-\dfrac{k}{3}$ y por tanto al mínimo de $k$ ( es decir, de $f(x,y)$):

Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos, $A$ y $C$, en $f(x,y)=4x-3y$, encontramos que el máximo de $f$ ( que se alcanza en $A(6,0)$ ) es igual a $f(6,0)=4\cdot 6 -3\cdot 0=24$; y, el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $C(2,6)$ ) es igual a $f(2,6)=4 \cdot 2 - 3\cdot 6=-10$

Nota: Podemos comprobar que en el punto $B(0,1)$ y $D(8,4)$ se alcanzas valores comprendidos entre el mínimo y el máximo; en efecto, $f(0,1)=-3$ y $f(8,4)=20$, con lo cual $-10 \prec f_{B}(0,1) \prec 24$ y $-10 \prec f_{D}(8,4) \prec 24$

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Cálculo con matrices. Matriz inversa. Determinante de una matriz cuadrada

ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}$
a) Discútase para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ tiene matriz inversa
b) Determínese, para $k=0$, la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX=B$

SOLUCIÓN.
a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante es nulo. Impongamos que el determinante de $A$ sea nulo y resolvamos la ecuación resultante; su solución corresponderá a los valores de $k$ para los cuales $A$ no admite matriz inversa:
$$\begin{vmatrix}1&2&-k \\ 1&-2&1 \\ k&2&-1 \end{vmatrix} \Leftrightarrow 2\,(1-k^2)=0 \Leftrightarrow k=\pm1$$ Por lo que podemos afirmar que la matriz $A$ tiene inversa siempre que $k$ sea distinto de $\pm 1$

b) Si $k=0$, entonces $A$ es $\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 1&-2&1 \\ 0&2&-1 \end{pmatrix}$. Notemos que si $AX=B$ entonces $X=A^{-1}B$; por tanto, debemos calcular la matriz inversa de $A$ para resolver la ecuación matricial, para lo cual podemos optar por emplear el método de Gauss-Jordan o bien el de la matriz adjunta. Los pormenores de dichos cálculos se han mostrado en muchos ejercicios que el lector puede consultar en este mismo blog [por ejemplo: (1),(2)], así que nos limitaremos a dar la solución, que es la siguiente $$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}$$ por tanto $$X=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1/2&-1/2&-1/2 \\ 1&-1&-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 0&2&2 \\ 0&0&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&5 \\ 1/2&-1/2&-2 \\ 1&-1&-7 \end{pmatrix}$$
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Cálculo de probabilidades y estadística. Estimación por intervalos de confianza

ENUNCIADO. La masa, en gramos, de la bandeja de salmón crudo que se vende en una pescadería, se puede aproximar por una variable aleatoria aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=25$ gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de $10$ bandejas.
a) Si la media muestral de las masas ha sido $\bar{x}=505$ gramos, calcúlese un intervalo de confianza al $99\,\%$ para la media poblacional $\mu$
b) Supóngase ahora que $\mu=500$ gramos. Calcúlese la probabilidad de que la masa total de esas $10$ bandejas sea mayor o igual a $5030$ gramos.

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de una bandeja". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,25)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=505$ gramos y $E$ es el máximo error cometido en la estimación, que viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y cuyo valor vamos a calcular a continuación: como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'99$, $\alpha=0'01$ y por tanto $\alpha/2=0'005$; entonces $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'005=0'995$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa $z_{\alpha/2} \approx 2'57$

Así, $E=2'57 \cdot \dfrac{25}{\sqrt{10}} \approx 20'32$. Y, por consiguiente, el intervalo de confianza pedido para la media de la población es $(505-20'32\,,\,505+20'32)$ esto es $(484'68\,,\,525'32)$, intervalo que, en buena lógica, podemos aproximar a $(485\;,\;525)$ gramos.

b)
Partimos ahora del siguiente dato: $\mu=500$ gramos. Por el teorema Central del Límite, la variable $\bar{X}=\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ sigue una distribución $N(\mu\,,\,\sigma/\sqrt{n})$, con lo cual la variable aleatoria $Y:=X_1+\ldots+X_n$ sigue una distribución $N(n\cdot \mu\,,\,\sigma\cdot \sqrt{n}$. En el caso que nos ocupa, $n=10$, y deseamos calcular $P\{Y \ge 5030\}$. Tipificando la variable $Y$ mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-10\cdot 500}{25\,\sqrt{10}}$, donde $Z:N(0,1)$. Así,
$P\{Y \ge 5030\}=P\{Z \ge \dfrac{5030-500}{25\,\sqrt{10}}\}=P\{Z \ge 0'3795\}=$
$=1-P\{Z\le 0'3795\} \quad \quad (1)$
En las tablas de la distribución de probabilidad de $Z:N(0,1)$ encontramos que $F(0'37)=0'6443$ y $F(0'38)=0'6480$; no leemos exactamente $F(0,8660)$, por lo que procedemos a interpolar linealmente en el intervalo $(0'37\,,\,0'38)$ para calcular el valor aproximado de $F(0'3795)$; así, $$F(0'3795) \approx (0'6480-0'6443)\cdot \dfrac{0,3795-0,38}{0,38-0,37}+0'6480=0'6478$$
por consiguiente, sustituyendo en (1), encontramos la probabilidad pedida: $1-0'6478=0'3522 \approx 35\,\%$
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Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Una máquina tiene dos chips de control $A$ y $B$. Se sabe que al encener la máquina: la probabilidad de que falle el chip $A$ es de $0,2$; la probabilidad de que falle el chip $B$ es $0,3$, y la probabilidad de que fallen los dos es $0,015$. Calcúlese la probabilidad de que al encender la máquina:
a) Haya fallado el chip $A$ si se sabe que ha fallado el chip $B$
b) No falle ninguno de los dos chips

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso 'falla el chip A' y por $B$ al suceso 'falla el chip B'. Entonces,
a) $P(A|B)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,015}{0,3}=0,05$
b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})\overset{\text{Morgan}}{=}P(\overline{A \cup B})=$
  $=1-P(A\cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}1-(P(A+P(B)-P(A\cap B))=$
  $=1-(0,2+0,3-0,015)$
  $=0,515$
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Análisis de funciones

ENUNCIADO. Sabiendo que la derivada de una función real de variable real es $f'(x)=x^2+8x+15$
a) Determínese la expresión de $f(x)$ sabiendo que $f(1)=\dfrac{1}{3}$
b) Determínense los máximos y mínimos locales de $f(x)$, si los tiene

SOLUCIÓN.
a)
Por el primer teorema fundamental del cálculo $$f(x)=\int\,f'(x)\,dx + C$$ luego $$f(x)=\int\,(x^2+8x+15)\,dx+C=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x+C$$ Para determinar el valor de la constante de integración $C$ imponemos $f(1)=\dfrac{1}{3}$, con lo cual $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 1^3+4\cdot 1^2+15\cdot 1+C$$ y despejando $C$, llegamos a $C=-19$, por tanto $$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+4x^2+15x-19$$

b)
La condición necesaria para que $x$ sea un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego $$x^2+8x+5=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-5\cdot 1\cdot 5} } {2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-4+\left|\sqrt{11}\right| \\ -4-\left|\sqrt{11}\right| \end{matrix}\right.$$ Así pues hay dos extremos relativos: $x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$ y $x_2=-4-\left|\sqrt{11}\right|$.

Veamos a continuación su naturaleza; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, $f''(x)=2x+8$.

$f''(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=2\,\left|\sqrt{11}\right| \succ 0 \Rightarrow x_1=-4+\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un mínimo local}$ y su ordenada es $f(-4+\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109-8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -27,5$

$f''(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-2\,\left|\sqrt{11}\right| \prec 0 \Rightarrow x_1=-4-\left|\sqrt{11}\right|$
  $\, \text{es la abscisa de un máximo local}$ y su ordenada es $f(-4-\left|\sqrt{11}\right|)=-\dfrac{1}{3}\,(109+8\left|\sqrt{11}\right|) \approx -45,2$

Nota: No hay máximo absoluto ni mínimo absoluto, pues al ser la función $f(x)$ polinómica de grado $3$ no está acotada ni superior ni inferiormente.

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Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad. Determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}5x+1&\text{si}&x\le 0 \\ x^2+5x+1&\text{si}&x > 0\end{matrix}\right.$$
a) Determínese si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$

SOLUCIÓN.
a)
Para que una función sea derivable en un punto de su dominio de definición ésta ha de ser continua en dicho punto, además debe existir el límite con el que se define la derivada de la función en dicho punto. Veamos si se cumplen estas condiciones.

La función $f(x)$ es continua en $x=0$ pues la función está definida en $x=0$ y es igual a $f(0)=5\cdot 0+1=1$, y los límites por la izquierda y por la derecha existen y sus valores coinciden (existe el límite en el punto $x=0$) y son iguales a $f(0)=1$; en efecto,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=5\cdot 0+1=1$
y
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=c^2+5\cdot 0+1=1$
con lo cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,f(x)=1=f(0)$

Por otra parte los límites que definen las derivadas por la izquierda y por la derecha existen y coinciden en su valor ( que es el valor de la derivada en $x=0$ ): $((5x+1)')|_{x=0}=5$ y $((x^2+5x+1)')|_{x=0}=((2x+5))|_{x=0}=2\cdot 0+5=5$, luego la función $f(x)$ es derivable en $x=0$ y su derivada en ese punto es $5$.

b)
En $x=3$ podemos determinar la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ pues el tramo que corresponde a ese punto es continuo y derivable ( por ser un polinomio de segundo grado ). Sea la ecuación en forma explícita de la recta tangente $t:y=mx+k$ en dicho punto. Vamos a determinar los valores de los coeficientes $m$ ( pendiente de la recta ) y $k$ ( ordenada en el origen ).

$m\overset{\text{def}}{=}f'(3)=((x^2+5x+1)')|_{x=3}=(2x+5)|_{x=3}=2\cdot 3+5=11$, con lo cual podemos escribir $t:y=11\,x+k$, veamos ahora, cuál es el valor de $k$: como en $x=3$ se tiene que cumplir que $f(3)=(11\,x+k)_{x=3}$, vemos que $f(3)=11\cdot 3 +k$, luego $k=f(3)-33$, esto es, $k=(3^2+5\cdot 3+1)-33=-8$. Así concluimos que la ecuación de la recta tangente pedida es $t:y=11\,x-8$
$\square$

Discútase el sistema en función del parámetro $a$ y, finalmente, resuélvase para un valor fijado del mismo

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$
a) Discútase para los diferentes valores del parámetro $a$
b) Resuélvase para $a=1$

SOLUCIÓN.
a)
La primera etapa del proceso de reducción nos lleva a
$$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ -x&+&3y&+&z&=&1 \\ -x&+&ay&+&2z&=&0 \end{matrix}\right\}\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3\,;\,e_2-e_1\rightarrow e_1}{\sim}$$ $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&(a-3)\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$, y sustituyendo en la primera y en la tercera llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&(a-3)\,y&=&-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ De la segunda ecuación vemos que si $a=3$, entonces llegamos a una contradicción $0=-\dfrac{1}{2}$; con lo cual, para $a=3$ el sistema es incompatible. Y en el caso de que $a\neq 3$, el sistema es compatible determinado, ya que el rango ( del sistema ) es $3$, que es igual al número de incógnitas.

b)
Si $a$ toma el valor $1$ el sistema es compatible determinado, pues $1\neq 3$. Habrá que resolver pues el sistema $$\left.\begin{matrix}-x&+&3y&+&3z&=&0 \\ &&&&-2z&=&1 \\ &&-2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right\}$$ Ya sabemos ( despejando de la segunda ecuación ) que $z=-\dfrac{1}{2}$; así que, sustituyendo este valor en las ecuaciones primera y tercera, llegamos a $$\left.\begin{matrix}x&-&3y&=&\dfrac{3}{2} \\ &&2\,y&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right\}$$ luego, de la segunda, obtenemos $$y=\dfrac{1}{4}$$ Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, encontramos $$-x=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}$$ esto es $$x=-\dfrac{3}{4}$$
$\square$