Ejercicio de integración

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=(x-1)^3$. Se pide:
a) Calcular la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$
b) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área delimitada por los siguientes elementos: la gráfica de la función, el eje de abscisas, y las rectas paralelas al eje de ordenadas que pasan por los puntos $A(0\,,\,-1)$ y $B(2\,,\,1)$

SOLUCIÓN.
a) $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=\int\,(x-1)^3\,d(x-1)=\dfrac{1}{4}\,(x-1)^4+C$

b) Una primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,(x-1)^4$, con lo cual, por el 2.º teorema fundamental del cálculo ( regla de Barrow ) podemos escribir
$$\displaystyle \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx = F(2)-F(0)=\dfrac{1}{4}\,\left((2-1)^4\right)-\dfrac{1}{4}\,\left((0-1)^4\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$$

c) La función $f(x)$ corta al eje de abscisas en $x=1$, luego el área pedida es igual a $$\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{2}\,f(x)\,dx\right|$$
Y, como el dominio de integración es simétrico con respecto de la recta paralela al eje de ordenadas $x=1$, lo anterior es lo mismo que
$$\displaystyle 2 \cdot \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|=2\cdot \left| F(1)-F(0)\right|=\dfrac{1}{2}$$
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Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un determinado punto

ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=x^2+1$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=-1$

SOLUCIÓN. La recta tangente a la gráfica de la función $f$ tiene por ecuación $$\text{r.t.}:y=m\,x+k$$ Por el significado geométrico de la derivada de una función en el punto $P$ $$m=f'(x_P)$$ derivando $$f'(x)=2x$$ luego $$m=f'(x_P=-1)=2\cdot (-1)=-2$$ Así, podemos escribir $$\text{r.t.}:y=-2\,x+k$$ Nos falta, ahora, determinar el valor de $k$; como $f(x_P)=(-2\,x_P+k)$ tenemos que $$(-1)^2+1=-2\cdot (-1)+k$$ esto es $$2=2+k$$ luego $$k=0$$ Por consiguiente $$\text{r.t.}:y=-2\,x+0$$ es decir $$\text{r.t.}:y=-2\,x$$

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Analizar y representar gráficamente

ENUNCIADO. Analizar y representar gráficamente la función $$f(x)=x^3+x^2-2x-2$$

SOLUCIÓN.
Nota: Me limito a poner los resultados, pues los pasos son análogos a los de este otro ejercicio.

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Máximos y mínimos

ENUNCIADO.
Considerar el conjunto de los rectángulos de perímetro igual a $2$ decímetros. Encontrar las dimensiones del rectángulo de dicho conjunto ( de rectángulos ) cuya área es máxima. ¿ Cuál es el valor de dicho máximo ?.

SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ el largo y el ancho de uno de dichos rectángulos. Sabemos ( por la información que se da en el enunciado sobre el valor del perímetro ) que $$2\,(x+y)=2$$ es decir $$x+y=1$$ y por tanto podemos expresar una lado en función del otro $$y=1-x$$ con lo cual, el área de un rectángulo cualquiera ( que cumpla la condición del enunciado ) viene dada por $$f(x)=x\,(1-x)$$

Forma de resolución 1.
Observemos que se trata de la función cuadrática, esto es, una función del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$ ( que en el caso que nos ocupa es $$f(x)=-x^2+x$$ ) y su gráfica es una parábola cuyo vértice corresponde a un máximo ( ya que el coeficiente del término de grado dos, $a=-1$, es menor que cero ); basta, pues, con encontrar sus coordenadas empleando la fórmula ( conocida de cursos anteriores ) $x_V=-\dfrac{b}{2\,a}$ ( en nuestro caso: $a=-1$ y $b=1$ ), luego $$x_V=-\dfrac{-1}{2\cdot 1}=\dfrac{1}{2} \; \text{dm}$$ con lo cual $y_V=f(x_V)=f(\frac{1}{2})=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \; \text{dm}$

Forma de resolución 2.
Hay, sin embargo, otro forma ( de más generalidad ) de encontrar el valor de $x$ que da el máximo -- más acorde con lo que estamos estudiando en este tema ( aplicaciones de la derivada ) -- y que consiste en imponer la condición de existencia de extremos relativos ( máximos y mínimos relativos ): $$f'(x)=0$$ entonces $$-2\,x+1=0 \Leftrightarrow x^*=\dfrac{1}{2}$$ Comprobemos ahora que se trata de un máximo relativo. Por el criterio del signo de la segunda derivada ( $f''(x)=-2$ para todo valor de $x$ del dominio de definición de la función ( que es continua y derivable en todos los puntos ) en dicho punto, vemos que ésta negativa ( por supuesto, también en $x=-\dfrac{1}{2}$ ), luego el extremo relativo encontrado corresponde a un máximo local. Además, dicho máximo es claro que es, también, el máximo absoluto de la función, que es el que estamos buscando.

En conclusión, como ya hemos justificado que dicho vértice corresponde a un máximo ( que es el máximo absoluto de la función ), el rectángulo de área máxima ( del conjunto de rectángulos propuesto ) es un cuadrado de $\dfrac{1}{2}$ decímetros de lado, y de área ( máxima ) igual a $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\;\text{dm}^2$.
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Extracción de bolas ...

ENUNCIADO. Urna contiene $12$ bolas: $4$ blancas, $4$ negras y $5$ rojas. Extraemos ( al azar ) $8$ bolas de la urna. Calcular la probabilidad de que al realizar el experimento aparezca el siguiente resultado: $2$ bolas blancas, $2$ bolas negras y $4$ bolas rojas. Teniendo en cuenta que las bolas se han extraído una a una ( de forma sucesiva ), y mediante:

a) reemplazando las bolas a medida que se van sacando
b) sin reemplazar las bolas que se van sacando ( esto equivale a sacar las ocho bolas a la vez )


SOLUCIÓN.
Llamemos $A$ al suceso "extraer exactamente $2$ bolas blancas, $2$ bolas negras y $4$ bolas rojas". Entonces, por el principio de Laplace, $P(A)=\dfrac{N(A)}{N_t}$, donde $N(A)$ indica el número de casos favorables a la aparición de $A$, y $N_t$ el número total de casos. Procedemos a calcular dicha probabilidad:

a) Si reemplazamos las bolas que vamos sacando,
$N_t=VR_{12,8}=12^8$
$N(A)\overset{\text{principio de independencia}}{=}VR_{4,2}\cdot VR_{4,2} \cdot VR_{5,4}\cdot PR_{8}^{2,2,4}$
                       $=4^2 \cdot 4^2 \cdot 5^4 \cdot \dfrac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 4!}=67\,200\,000$
con lo cual $P(A)=\dfrac{67\,200\,000}{12^8} \approx 0,1563$

b)
$N_t=\displaystyle \binom{12}{8}=495$
$N(A)\overset{\text{principio de independencia}}{=}\displaystyle \binom{4}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{4}=180$
por tanto, $P(A)=\dfrac{180}{495} \approx 0,3636$

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Bajarse en la misma parada

ENUNCIADO. Dos personas se encuentran en la misma parada de autobús. La línea ( de sentido único ) tiene cinco paradas más. ¿ Cuál es la probabilidad de que se apeen en la misma parada ?

SOLUCIÓN. El número de casos favorable a dicho suceso es $5$, ya que se pueden apear ( juntos ) en cualquiera de las cinco paradas que faltan hasta el final de línea. Veamos cuál es el número de casos posibles. Para ello codificamos las posibilidades de elección de parada de las dos personas por medio de una especie de ficha con dos compartimentos ( uno para cada viajero ); en cada uno de ellos podamos escribir el número de parada para cada viajero ( para cada una de los mismos es $5$ ); entonces, por el principio de independencia, el número total de elecciones posibles es $5\cdot 5 = 5^2=25$. En otras palabras -- y reflexionando un poco más -- vemos que se trata de un caso de variaciones con repetición de $5$ caracteres ( importa el orden de colocación del número de parada en cada compartimento ), dispuestos en grupos de dos, esto es $VR_{5,2}=5^2$. Entonces, por el principio de Laplace ( razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles ), la probabilidad pedida es igual a $\dfrac{5}{5^2}$, esto es, $\dfrac{1}{5}$. $\square$

Patrones de reparto de bolas en urnas

Integración de funciones. Cálculo del área del recinto delimitado por dos funciones.