Ejercicio de integración

ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=(x-1)^3$. Se pide:
a) Calcular la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$
b) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área delimitada por los siguientes elementos: la gráfica de la función, el eje de abscisas, y las rectas paralelas al eje de ordenadas que pasan por los puntos $A(0\,,\,-1)$ y $B(2\,,\,1)$

SOLUCIÓN.
a) $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=\int\,(x-1)^3\,d(x-1)=\dfrac{1}{4}\,(x-1)^4+C$

b) Una primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,(x-1)^4$, con lo cual, por el 2.º teorema fundamental del cálculo ( regla de Barrow ) podemos escribir
$$\displaystyle \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx = F(2)-F(0)=\dfrac{1}{4}\,\left((2-1)^4\right)-\dfrac{1}{4}\,\left((0-1)^4\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$$

c) La función $f(x)$ corta al eje de abscisas en $x=1$, luego el área pedida es igual a $$\displaystyle \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|+\left|\int_{1}^{2}\,f(x)\,dx\right|$$
Y, como el dominio de integración es simétrico con respecto de la recta paralela al eje de ordenadas $x=1$, lo anterior es lo mismo que
$$\displaystyle 2 \cdot \left|\int_{0}^{1}\,f(x)\,dx\right|=2\cdot \left| F(1)-F(0)\right|=\dfrac{1}{2}$$
$\square$