Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un determinado punto

ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=x^2+1$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=-1$

SOLUCIÓN. La recta tangente a la gráfica de la función $f$ tiene por ecuación $$\text{r.t.}:y=m\,x+k$$ Por el significado geométrico de la derivada de una función en el punto $P$ $$m=f'(x_P)$$ derivando $$f'(x)=2x$$ luego $$m=f'(x_P=-1)=2\cdot (-1)=-2$$ Así, podemos escribir $$\text{r.t.}:y=-2\,x+k$$ Nos falta, ahora, determinar el valor de $k$; como $f(x_P)=(-2\,x_P+k)$ tenemos que $$(-1)^2+1=-2\cdot (-1)+k$$ esto es $$2=2+k$$ luego $$k=0$$ Por consiguiente $$\text{r.t.}:y=-2\,x+0$$ es decir $$\text{r.t.}:y=-2\,x$$

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