Extracción de bolas ...

ENUNCIADO. Urna contiene $12$ bolas: $4$ blancas, $4$ negras y $5$ rojas. Extraemos ( al azar ) $8$ bolas de la urna. Calcular la probabilidad de que al realizar el experimento aparezca el siguiente resultado: $2$ bolas blancas, $2$ bolas negras y $4$ bolas rojas. Teniendo en cuenta que las bolas se han extraído una a una ( de forma sucesiva ), y mediante:

a) reemplazando las bolas a medida que se van sacando
b) sin reemplazar las bolas que se van sacando ( esto equivale a sacar las ocho bolas a la vez )


SOLUCIÓN.
Llamemos $A$ al suceso "extraer exactamente $2$ bolas blancas, $2$ bolas negras y $4$ bolas rojas". Entonces, por el principio de Laplace, $P(A)=\dfrac{N(A)}{N_t}$, donde $N(A)$ indica el número de casos favorables a la aparición de $A$, y $N_t$ el número total de casos. Procedemos a calcular dicha probabilidad:

a) Si reemplazamos las bolas que vamos sacando,
$N_t=VR_{12,8}=12^8$
$N(A)\overset{\text{principio de independencia}}{=}VR_{4,2}\cdot VR_{4,2} \cdot VR_{5,4}\cdot PR_{8}^{2,2,4}$
                       $=4^2 \cdot 4^2 \cdot 5^4 \cdot \dfrac{8!}{2! \cdot 2! \cdot 4!}=67\,200\,000$
con lo cual $P(A)=\dfrac{67\,200\,000}{12^8} \approx 0,1563$

b)
$N_t=\displaystyle \binom{12}{8}=495$
$N(A)\overset{\text{principio de independencia}}{=}\displaystyle \binom{4}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{4}=180$
por tanto, $P(A)=\dfrac{180}{495} \approx 0,3636$

$\square$