Máximos y mínimos

ENUNCIADO.
Considerar el conjunto de los rectángulos de perímetro igual a $2$ decímetros. Encontrar las dimensiones del rectángulo de dicho conjunto ( de rectángulos ) cuya área es máxima. ¿ Cuál es el valor de dicho máximo ?.

SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ el largo y el ancho de uno de dichos rectángulos. Sabemos ( por la información que se da en el enunciado sobre el valor del perímetro ) que $$2\,(x+y)=2$$ es decir $$x+y=1$$ y por tanto podemos expresar una lado en función del otro $$y=1-x$$ con lo cual, el área de un rectángulo cualquiera ( que cumpla la condición del enunciado ) viene dada por $$f(x)=x\,(1-x)$$

Forma de resolución 1.
Observemos que se trata de la función cuadrática, esto es, una función del tipo $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$ ( que en el caso que nos ocupa es $$f(x)=-x^2+x$$ ) y su gráfica es una parábola cuyo vértice corresponde a un máximo ( ya que el coeficiente del término de grado dos, $a=-1$, es menor que cero ); basta, pues, con encontrar sus coordenadas empleando la fórmula ( conocida de cursos anteriores ) $x_V=-\dfrac{b}{2\,a}$ ( en nuestro caso: $a=-1$ y $b=1$ ), luego $$x_V=-\dfrac{-1}{2\cdot 1}=\dfrac{1}{2} \; \text{dm}$$ con lo cual $y_V=f(x_V)=f(\frac{1}{2})=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \; \text{dm}$

Forma de resolución 2.
Hay, sin embargo, otro forma ( de más generalidad ) de encontrar el valor de $x$ que da el máximo -- más acorde con lo que estamos estudiando en este tema ( aplicaciones de la derivada ) -- y que consiste en imponer la condición de existencia de extremos relativos ( máximos y mínimos relativos ): $$f'(x)=0$$ entonces $$-2\,x+1=0 \Leftrightarrow x^*=\dfrac{1}{2}$$ Comprobemos ahora que se trata de un máximo relativo. Por el criterio del signo de la segunda derivada ( $f''(x)=-2$ para todo valor de $x$ del dominio de definición de la función ( que es continua y derivable en todos los puntos ) en dicho punto, vemos que ésta negativa ( por supuesto, también en $x=-\dfrac{1}{2}$ ), luego el extremo relativo encontrado corresponde a un máximo local. Además, dicho máximo es claro que es, también, el máximo absoluto de la función, que es el que estamos buscando.

En conclusión, como ya hemos justificado que dicho vértice corresponde a un máximo ( que es el máximo absoluto de la función ), el rectángulo de área máxima ( del conjunto de rectángulos propuesto ) es un cuadrado de $\dfrac{1}{2}$ decímetros de lado, y de área ( máxima ) igual a $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\;\text{dm}^2$.
$\square$