La producción diaria de cemento, media en toneladas, de una factoría cementera se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=9$ toneladas.
a) Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza al $95\,\%$ para $\mu$ tenga una amplitud a lo sumo de $2$ toneladas
b) Se toman los datos de producción de $16$ días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, $\bar{X}$, sea menor o igual que $197,5$ toneladas si sabemos que $\mu=202$ toneladas
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria de la población "masa de la producción diaria". Sabemos que $X \sim N(\mu\,,\,9)$, entonces un intervalo de confianza para la estimación de la media de la población $\mu$ es $(\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E)$, donde $\bar{x}=2$ toneladas y $E$ la amplitud de dicho intervalo ( corresponde al máximo error cometido en la estimación ), y viene dado por $E=z_{\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Como el nivel de confianza es $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$ y por tanto $\alpha/2=0'025$; podemos pues escribir: $P\{Z \le z_{\alpha/2}\}=1-0'025=0'975$, por lo que consultando en las tablas de la distribución de probabilidad $N(0\,,\,1)$ encontramos el siguiente valor de la abscisa crítica: $z_{\alpha/2} \approx 1'96$
Con todo esto, podemos calcular el valor mínimo de $n$, ya que si $E=2$, entonces $2=1'96 \cdot \dfrac{9}{\sqrt{n}}$, de donde se desprende que el valor (mínimo) de $n$ es igual a $n \ge (\dfrac{9\cdot 1'96}{2})^2 = 78$
b)
Procedemos a calcular ahora $P\{\bar{X}\} \le 197'5$, teniendo en cuenta que, por el Teorema del Límite Central, $\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\mu\,,\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})$. Disponemos de los siguientes datos: $\mu=202$ toneladas ( media de la población ), y $n=16$ días ( tamaño de la muestra ).
$P\{\bar{X}\le 197'5\}\overset{\text{tipificando la variable}}{=}P\{Z\le-2\}=P\{Z\ge 2 \}=1-P\{Z \prec 2\}=$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}1-0'9772=0'0228$
$\square$
jueves, 29 de junio de 2017
Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. El profesorado de cierta Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales está compuesto por profesores de Economía y de Empresa. El $60\,\%$ son de Economía y el $40\,\%$ de Empresa. Además, el $55\,\%$ del profesorado de dicha facultad son mujeres. De ellas, el $52\,\%$ son de Empresa. Calcúlese la probabilidad de que un miembro de dicha facultad elegido al azar:
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer
SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"
a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.
Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$
b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$
a) Sea mujer si se sabe que es de Empresa
b) Sea de Economía y mujer
SOLUCIÓN. Designemos los siguientes sucesos:
$E=$ "la persona elegida es de Economía"
$R=$ "la persona elegida es de Empresa"
$M=$ "la persona elegida es mujer"
a)
Nos proponemos calcular $P(M|R)$. Disponemos de los siguientes datos: $P(E)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5}$, $P(R)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(M)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$ y $P(R|M)=\dfrac{52}{100}=\dfrac{13}{25}$.
Desde luego, $P(M\cap R)=P(R\cap M)$; y por la definición de probabilidad condicionada, $P(M \cap R)=P(M|R)P(R)$ y $P(R \cap M)=P(R|M)P(M)$, luego $P(M|R)P(R)=P(R|M)P(M)$, y, por tanto $$P(M|R)=\dfrac{P(R|M)P(M)}{P(R)}=\dfrac{\dfrac{13}{25}\cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{143}{200}=0,715$$
b)
Empleando otra vez la definición de probabilidad condicionada, podemos escribir $$P(E\cap M)=\dfrac{P(E|M)}{P(M)}$$ donde $P(E|M)=P(\bar{R}|M)=1-P(R|M)$ luego $$P(E\cap M)=\dfrac{1-P(R|M)}{P(M)}=\dfrac{1-\dfrac{13}{25}}{\dfrac{11}{20}}=\dfrac{48}{55}\approx 0,8727$$
$\square$
Cálculo de áreas ( integración ) y análisis del crecimiento/decrecimiento de una función
ENUNCIADO. Se considera la función real de variable real $f(x)=x^3-4x^2+3x$
a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:
$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
$=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$
b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$
Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$
$\square$
a) Calcúlese el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y por las rectas $x=0$ y $x=3$
b) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Al tratarse de un polinomio, el dominio de definición de la función es la totalidad de $\mathbb{R}$ y ésta es continua en todos los puntos. Veamos cuáles son las raíces de $f(x)$:
$0=x^3-4x^2+3x \Leftrightarrow x\,(x^2-4x+3)=0 \Leftrightarrow$
$ \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}0 \\ \\ \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$
Entonces, el área pedida viene dada por:
$$\displaystyle |\int_{0}^{1} f(x)\,dx| + |\int_{1}^{3} f(x)\,dx|=|F(1)-F(0)|+|F(3)-F(1)| \quad \quad (1)$$ siendo $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{4}{3}\,x^3+\dfrac{3}{2}\,x^2$ una función primitiva de $f(x)$. Teniendo en cuenta que $F(0)=0$, $F(1)=\dfrac{5}{12}$ y $F(3)=-\dfrac{9}{4}$, entonces (1) es igual a $|\dfrac{5}{12}-0|+|-\dfrac{9}{4}-\dfrac{5}{12}|=|\dfrac{5}{12}|+|-\dfrac{8}{3}|=$
$=\dfrac{5}{12}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{37}{12} \; \text{unidades de área}$
b) Veamos cuáles son los máximos y mínimos relativos de $f(x)$. Para ello, impongamos la condición necesaria de existencia de extremos relativos $f'(x)=0$, esto es $3x^2-8x+3=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \\ \dfrac{4+\sqrt{7}}{3} \end{matrix}\right.$
Para averiguar la naturaleza de estos valores, emplearemos el criterio de la segunda derivada:
Como $f''(x)=6x-8$, tenemos que $f''(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})=-2\sqrt{7}\prec 0$, luego la abscisa $\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un máximo local; por otra parte, $f''(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})=2\sqrt{7}\succ 0$, luego la abscisa $\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$ corresponde a un mínimo local. Teniendo en cuenta que, por ser un polinomio, la función es continua en todos los puntos, y que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)=-\infty$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,f(x)=+\infty$, deducimos de ello que los intervalos de crecimiento son $(-\infty\,,\,\dfrac{4-\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$ y $(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ Por otra parte, hay un sólo intervalo de decrecimiento cuyos extremos inferior y superior corresponden a las abscisas del máximo local y la del mínimo local, respectivamente: $(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}\,,\,\dfrac{4+\sqrt{7}}{3})\subset \mathbb{R}$
$\square$
miércoles, 28 de junio de 2017
Un ejercicio de programación lineal
ENUNCIADO. Sea $S$ la región del plano definida por $S:\left\{\begin{matrix}x+y\ge 2 \\ 2x-y \le 4\\ 2y-x\le 4 \\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{matrix}\right.$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=-5x+3y$ en $S$, indicando los puntos de dicha región en los cuales se alcanzan los valores máximo y mínimo
SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-x&+&2 \\ y&\ge&2x&-&4 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:&y&=&-x&+&2 \\ r_2:&y&=&2x&-&4 \\ r_3:&y&=&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ r_4:&x&=&0 \\ r_5:&y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,2)$ y $Q_1(2,0)$; para $r_2$, $P_2(0,-4)$ y $Q_2(2,0)$; y, para $r_3$, $P_3(0,2)$ y $Q_3(-4,0)$. Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:
En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que $A=r_1 \cap r_2$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&2x&-&4 \end{matrix}\right.$; $B=r_1 \cap r_3$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$ y $C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&2\,x&-&4 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$. Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.
b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=-5x+3y$ viene descrita por $k=-5x+3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{k}{3}$, con un valor concreto de $k$ para cada una.
En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{5}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma de forma que barra todos los puntos de la región factible, es evidente que $A(2,0)$ corresponde al mínimo de $f(x,y)$ y que $B(0,2)$ corresponde al máximo, pues $f$ alcanza el mínimo cuando la recta desplazada pasa por el punto $A$ y $f$ alcanza el máximo al pasar por el punto $B$, pues al acanzar $\dfrac{k}{3}$ el mínimo ( respectivamente, el mínimo ) $f(x,y)$ alcanza también el máximo ( respectivamente, el máximo):
Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos en $f(x,y)=-5x+3y$, encontramos que el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $A(2,0)$ ) es igual a $f(2,0)=-5\cdot 2 +3\cdot 0=-10$; y, el máximo de $f$ ( que se alcanza en $B(0,2)$ ) es igual a $f(0,2)=-5 \cdot 0 + 3\cdot 2=6$
Nota: Podemos comprobar que en el punto $C(4,4)$ se alcanza un valor comprendido entre el mínimo y el máximo; en efecto, $-10 \prec f(4,4)=-5\cdot 4 + 3\cdot 4=-8 \prec 6$
$\square$
a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices
b) Obténganse los valores máximo y mínimo de la función $f(x,y)=-5x+3y$ en $S$, indicando los puntos de dicha región en los cuales se alcanzan los valores máximo y mínimo
SOLUCIÓN. Es conveniente expresar las ecuaciones de $S$ de la forma $$S:\left\{\begin{matrix}y&\ge&-x&+&2 \\ y&\ge&2x&-&4 \\ y&\le&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ x&\ge&0 \\ y&\ge&0 \end{matrix}\right.$$
con lo cual es fácil escribir las ecuaciones de la rectas que contienen los lados de la región factible
$$\left\{\begin{matrix}r_1:&y&=&-x&+&2 \\ r_2:&y&=&2x&-&4 \\ r_3:&y&=&-\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \\ r_4:&x&=&0 \\ r_5:&y&=&0 \end{matrix}\right.$$
Procedemos ahora a representar la región factible. Las dos últimas restricciones nos limitan al primer cuadrante. Para representar las tres primeras rectas ( que contienen los lados de la región convexa ), encontremos una pareja de puntos para cada una de ellas: para $r_1$, tenemos $P_1(0,2)$ y $Q_1(2,0)$; para $r_2$, $P_2(0,-4)$ y $Q_2(2,0)$; y, para $r_3$, $P_3(0,2)$ y $Q_3(-4,0)$. Representando dichas rectas e interpretando correctamente el sentido de las desigualdades del sistema de restricciones, obtenemos la siguiente región factible:
En la figura aparecen las coordenadas de los vértices, que hemos calculado teniendo en cuenta que $A=r_1 \cap r_2$, y por tanto éstas deben satisfacer el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&2x&-&4 \end{matrix}\right.$; $B=r_1 \cap r_3$, debiéndose resolver el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}y&=&-x&+&2 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$ y $C=r_2 \cap r_3$, debiéndose cumplir que $\left\{\begin{matrix}y&=&2\,x&-&4 \\ y&=&\dfrac{1}{2}\,x&+&2 \end{matrix}\right.$. Es muy fácil resolver estos sistemas, por lo que se omite el cálculo.
b)
La familia de rectas asociada a la función obtetivo ( haz de rectas paralelas ) $f(x,y)=-5x+3y$ viene descrita por $k=-5x+3y$, donde hemos asignado a $f$ el parámetro $k$, esto es cada una de las rectas del haz tiene por ecuación explícita $y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{k}{3}$, con un valor concreto de $k$ para cada una.
En la figura hemos representado una de ellas en color rojo, cuya ecuación es $y=\dfrac{5}{3}x$ ( dando a $k$ el valor cero ). Desplazando dicha recta paralelamente a sí misma de forma que barra todos los puntos de la región factible, es evidente que $A(2,0)$ corresponde al mínimo de $f(x,y)$ y que $B(0,2)$ corresponde al máximo, pues $f$ alcanza el mínimo cuando la recta desplazada pasa por el punto $A$ y $f$ alcanza el máximo al pasar por el punto $B$, pues al acanzar $\dfrac{k}{3}$ el mínimo ( respectivamente, el mínimo ) $f(x,y)$ alcanza también el máximo ( respectivamente, el máximo):
Así, sustituyendo las coordenadas de sendos puntos en $f(x,y)=-5x+3y$, encontramos que el mínimo de $f$ ( que se alcanza en $A(2,0)$ ) es igual a $f(2,0)=-5\cdot 2 +3\cdot 0=-10$; y, el máximo de $f$ ( que se alcanza en $B(0,2)$ ) es igual a $f(0,2)=-5 \cdot 0 + 3\cdot 2=6$
Nota: Podemos comprobar que en el punto $C(4,4)$ se alcanza un valor comprendido entre el mínimo y el máximo; en efecto, $-10 \prec f(4,4)=-5\cdot 4 + 3\cdot 4=-8 \prec 6$
$\square$
Cálculo con matrices
ENUNCIADO. Considérense las matrices $A=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 3&5&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$
b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$
Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$
a) Calcúlese la matriz $D=A^{\top}B$. ¿ Existe la matriz $F=AB$ ?
b) Calcúlese la matriz $M=B^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz transpuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, luego la matriz $D$ pedida es $A^{\top}B=\begin{pmatrix}1&3 \\ 2&5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15 \\ 9&26 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$
$A$ es una matriz $2 \times 3$ y $B$ es una matriz $2 \times 2$, luego no es posible realizar el producto $AB$ ( el número de columnas de $A$, que es $3$, no co coincide con el número de filas de $B$, que es $2$ ) y por tanto no existe la matriz $F$
b)
Observemos que el determinante de $B$ es distinto de cero, por lo que está garantizada la existencia de matriz inversa. Procedemos a calcularla, empleando el método de Gauss-Jordan
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right) \overset{f_2-\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 3 & 1 & 0 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{f_1-\frac{2}{5}\cdot 3\,f_2\rightarrow f_1}{\rightarrow}$
$\left(\begin{array}{cc|cc}
2 & 0 & 8/5 & -6/5 \\
0 & 5/2 & -1/2 & 1
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1\rightarrow f_1\,;\,\frac{2}{5}\,f_2\rightarrow f_2}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 4/5 & -3/5 \\
0 & 1 & -1/5 & 2/5
\end{array}\right)$
Así, pues, $B^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}$
Comprobación: $BB^{-1}=\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y
$B^{-1}B=\begin{pmatrix}4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3 \\ 1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$
sábado, 28 de enero de 2017
En una investigación ...
ENUNCIADO. En una investigación de un delito de fraude se observa (en el lugar de los hechos) que: la evidencia $A$ aparece en una proporción del $60\,\%$; la evidencia $B$, habiéndose dado la evidencia $A$, aparece en una proporción del $80\,\%$; y, no habiéndose dado la evidencia $A$, la evidencia $B$ se observa en un $40\,\%$. Se pide:
a) ¿ En qué proporción aparece $B$ ?
b) ¿ En qué proporción no aparece ninguna de dichas evidencias
c) No habiendo observado la evidencia $B$, ¿ en qué proporción no aparece la evidencia $A$ ?
d) ¿ En qué proporción aparece una sola de las dos evidencias ?
e) ¿ En qué proporción aparece alguna de las dos evidencias ?
SOLUCIÓN.
Los datos del problema son:
$P(A)=0,6$
$P(B|A)=0,8$
$P(B|\bar{A})=0,4$
Emplearemos: la fórmula de la probabilidad condicionada; el teorema de la probabilidad total, y algunas de las propiedades con sucesos.
a)
$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
$=0,8\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
$=0,64=64\,\%$
b)
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap \bar{A})=P(\bar{B}|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-0,4)\cdot (1-0,6)$
$=0,24=24\,\%$
c)
$P(\bar{A} | \bar{B})=\dfrac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
$=\dfrac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{1-P(B)}$
$=\dfrac{0,24}{1-0,64}$
$=\dfrac{2}{3}\approx 67\,\%$
d)
$P((A\cap \bar{B}) \cup ( \bar{A} \cap B))=P(A-B)+P(B-A)$
$=P(\bar{B}\cap A)+P(\bar{A} \cap B)$
$=P(\bar{B}\cap A)+P(B \cap \bar{A})$
$=P(\bar{B}|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-P(B|A))\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot (1-P(A)$
$=(1-0,8)\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
$=0,28=28\,\%$
e)
$P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B})$
$=1-0,24$
$=0,76=76\,\%$
$\square$
a) ¿ En qué proporción aparece $B$ ?
b) ¿ En qué proporción no aparece ninguna de dichas evidencias
c) No habiendo observado la evidencia $B$, ¿ en qué proporción no aparece la evidencia $A$ ?
d) ¿ En qué proporción aparece una sola de las dos evidencias ?
e) ¿ En qué proporción aparece alguna de las dos evidencias ?
SOLUCIÓN.
Los datos del problema son:
$P(A)=0,6$
$P(B|A)=0,8$
$P(B|\bar{A})=0,4$
Emplearemos: la fórmula de la probabilidad condicionada; el teorema de la probabilidad total, y algunas de las propiedades con sucesos.
a)
$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
$=0,8\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
$=0,64=64\,\%$
b)
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap \bar{A})=P(\bar{B}|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-0,4)\cdot (1-0,6)$
$=0,24=24\,\%$
c)
$P(\bar{A} | \bar{B})=\dfrac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
$=\dfrac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{1-P(B)}$
$=\dfrac{0,24}{1-0,64}$
$=\dfrac{2}{3}\approx 67\,\%$
d)
$P((A\cap \bar{B}) \cup ( \bar{A} \cap B))=P(A-B)+P(B-A)$
$=P(\bar{B}\cap A)+P(\bar{A} \cap B)$
$=P(\bar{B}\cap A)+P(B \cap \bar{A})$
$=P(\bar{B}|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
$=(1-P(B|A))\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot (1-P(A)$
$=(1-0,8)\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
$=0,28=28\,\%$
e)
$P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B})$
$=1-0,24$
$=0,76=76\,\%$
$\square$
Paradoja de la Caja de Bertrand (1889)
ENUNCIADO. Una urna $U_1$ contiene dos bolas blancas; otra urna $U_2$ contiene dos bolas negras; y una tercera urna $U_3$ contiene una bola blanca y una bola negra. Se elige una urna al azar y se extrae una primera bola de la misma, que resulta ser blanca. Se extrae a continuación una segunda bola de la misma urna. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas ?. [Joseph Bertrand, 1822-1900]
SOLUCIÓN. En contra de lo que se podría responder ( sin un detenida reflexión ), la probabilidad pedida no es igual a $1/2$ sino a $2/3$. Vamos a justificarlo.
Denotemos por $B_1$ al suceso obtener bola blanca en la primera extracción y $B_2$ al suceso obtener bola blanca en la segunda extracción. Denominaremos $U_1$, $U_2$ y $U_3$ a los sucesos, elegir la urnas respectivas. Entonces, la probabilidad pedida se escribirá
$$P(B_2|B_1)=\dfrac{P(B_2 \cap B_1)}{P(B_1)} \quad \quad (1)$$ Notemos que $P(B_2 \cap B_1)=P(U_1)=\dfrac{1}{3}$ puesto que obtener dos bolas blancas de la misma urna sólo puede ser posible si se ha elegido la urna $U_1$.
Por otra parte,
$P(B_1)=P(B_1|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_1|U_2)\cdot P(U_2)+P(B_1|U_3)\cdot P(U_3)$
$=1\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$
Por consiguiente, sustituyendo en (1) lo calculado, llegamos a $$P(B_2|B_1)=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$\square$
SOLUCIÓN. En contra de lo que se podría responder ( sin un detenida reflexión ), la probabilidad pedida no es igual a $1/2$ sino a $2/3$. Vamos a justificarlo.
Denotemos por $B_1$ al suceso obtener bola blanca en la primera extracción y $B_2$ al suceso obtener bola blanca en la segunda extracción. Denominaremos $U_1$, $U_2$ y $U_3$ a los sucesos, elegir la urnas respectivas. Entonces, la probabilidad pedida se escribirá
$$P(B_2|B_1)=\dfrac{P(B_2 \cap B_1)}{P(B_1)} \quad \quad (1)$$ Notemos que $P(B_2 \cap B_1)=P(U_1)=\dfrac{1}{3}$ puesto que obtener dos bolas blancas de la misma urna sólo puede ser posible si se ha elegido la urna $U_1$.
Por otra parte,
$P(B_1)=P(B_1|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_1|U_2)\cdot P(U_2)+P(B_1|U_3)\cdot P(U_3)$
$=1\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$
Por consiguiente, sustituyendo en (1) lo calculado, llegamos a $$P(B_2|B_1)=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$\square$
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