Segundo teorema fundamental del cálculo

Teorema de Barrow: (Segon Teorema Fonamental del Càlcul)

Coneguda la funció integral $F(x)$, i si $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre les abscisses $x=a$ i $x=b$ (dits límits d'integració), és igual a $F(b)-F(a)$, és a dir

      $\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

Demostració:
Partim del fet que $F(x)$ és la funció integral de $f(x)$ (Primer Teorema Fonamental del Càlcul) i, per tant, una primitiva de $f(x)$; suposem, ara, que $G(x)$ és una altra primitiva de $f(x)$, llavors s'haurà de complir que $F(x)=G(x)+C \quad (1)$ ( on $C$ és una constant ) i, per consegüent, $F(a)=G(a)+C \quad (2)$.

Per altra banda, d'acord amb la difinició de funció integral de $f$,

$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$

és clar que $F(a)=0$, amb la qual cosa, de (2), trobem que $C=-G(a)$

Substituint el valor de $C$ a l'expressió (1) trobem que $F(x)=G(x)-G(a)$ i, d'acord amb el significat de la funció integral veiem que el valor de la integral definida entre els límits d'integració $a$ (límit inferior) i $b$ (límit superior) és igual a

$\int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = F(b)-F(a)$

valor que, a la literatura, també es pot veure expressat de la forma

$\int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$
$\square$