Ejercicio de integración [ Artículo escrito en catalán ]

Enunciat:
Calculeu el valor de l'àrea delimitada pel traç de la funció $f(x)=sin(x)$ i l'eix $Ox$, entre $x=0$ i $x=2\pi$

Resolució:
L'àrea demanada $\mathcal{A}$ és igual a
$\displaystyle \int_{0}^{2\,\pi} f(x) dx$

Primer que tot, cerquem la funció integral $F(x)$, funció que trobem de forma immediata
$F(x) = -\cos{x}$

Observem que, la funció $f(x)=\sin{x}$ no és positiva en tot l'interval considerat. Si ens limitem a calcular

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}sin(x)dx$

ens trobem que

$\Big[-cos(x)\Big]_{0}^{2\pi}=0$

per contra, és clar que l'àrea no és nul·la; el valor calculat no és, de fet, l'àrea, ans correspon simplement al valor de la integral definida.


Atenent la simetria respecte del punt origen de coordenades de la funció que ens ocupa [ $\sin{x}$ es una funció senar, ja que $f(-x)=-f(x)$ ( $x \in D_f$ ); el valor nul de la integral definida que hem obtingut es deu precisament a valor negatiu de la quantitat ( que queda per sota de l'eix d'abscisses ) compensa el valor positiu de la part ( que queda pel damunt de l'eix d'abscisses).

Llavors, l'àrea $\mathcal{A}$ vindrà donada per

$\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{\pi} \, sin(x)\,dx + \left|\int_{\pi}^{2\,\pi} \, sin(x) \, dx\right|$

o, de forma equivalent, per

$\displaystyle 2 \, \int_{0}^{\pi}\,sin(x)\, dx$

que és igual a

$\displaystyle \left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\pi}=2(1-(-1)) = 4$

$\square$

[autoría]