Primer Teorema Fonamental del Càlcul
Donada una funció f(x), integrable en l'interval \left[a,b\right], la funció integral
\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt
compleix que
F^{'}(x)=f(x)
Demostració:
D'acord amb la definició analítica de derivada d'una funció escriurem
\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)
Estudiem el quocient incremental: tenint en compte el significat de F(x), escriurem
\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}
Ara bé, el numerador d'aquesta expressió està fitat entre:
f(x) \, \Delta x i f(x + \Delta x) \, \Delta x
fites que respresenten les àrees dels rectangles que són respectivament, menor i major que l'àrea per sota del troç de corba que dóna la integral.
D'aquí, és ben clar que, en passar al límit, quan \Delta x \rightarrow 0, obtenim F'(x) = f(x)
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios