Primer teorema fundamental del cálculo ( Artículo escrito en catalán )

Primer Teorema Fonamental del Càlcul

Donada una funció $f(x)$, integrable en l'interval $\left[a,b\right]$, la funció integral

$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$

compleix que

$F^{'}(x)=f(x)$


Demostració:
D'acord amb la definició analítica de derivada d'una funció escriurem
$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$

Estudiem el quocient incremental: tenint en compte el significat de $F(x)$, escriurem

$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$

Ara bé, el numerador d'aquesta expressió està fitat entre:

$f(x) \, \Delta x$   i   $f(x + \Delta x) \, \Delta x$

fites que respresenten les àrees dels rectangles que són respectivament, menor i major que l'àrea per sota del troç de corba que dóna la integral.

D'aquí, és ben clar que, en passar al límit, quan $ \Delta x \rightarrow 0$, obtenim $F'(x) = f(x)$

$\square$