Ejercicios de integración [ Artículo escrito en catalán ]

La integral definida

        Lectura preliminar

    Exercici 1
Calculeu el valor de la integral definida

    $\displaystyle \int_{-3}^{3} \, x^3 \, dx$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 2
Calculeu el valor de l'àrea sota la corba de la funció $f(x)=x^3$, entre $x=-3$ i $x=3$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 3
Una canonada aporta un cabal d'aigua (volum per unitat de temps) donat per la funció $Q(t)=t^2-t+1$ (expressat en $\text{m}^3\,\text{s}^{-1}$. Calculeu el volum d'aigua recollit entre els instants $t_{1}=1 \; \text{s}$ i $t_{2}=10 \; \text{s}$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 4
Desplacem un cos damunt de l'eix $Ox$, amb una força que ve donada per $f(x)=x$ ( expressada en $\text{N}$ ), on $x$ (expressat en $\text{m}$) representa la posició del cos (distància a l'origen de coordenades del sistema de referència). Calculeu el treball (energia) realitzat per la força en desplaçar el cos entre les posicions donades per $x_{1}=4 \; \text{m}$ i $x_{2}=10 \; \text{m}$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 5
Calculeu el valor de la integral definida
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin{x} \, dx$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 6
Calculeu el valor de l'àrea delimitada pel traç de la funció $f(x)=\sin{x}$, l'eix d'abscisses, i les rectes
$r_{1}:\,x=-\dfrac{\pi}{2}$
i
$r_{2}:\,x=\dfrac{\pi}{2}$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 7
Calculeu el valor de la integral definida
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos{x} \, dx$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

    Exercici 8
Calculeu el valor de l'àrea delimitada pel traç de la funció $f(x)=\cos{x}$, l'eix d'abscisses, i les rectes
$r_{1}:\,x=-\dfrac{\pi}{2}$
i
$r_{2}:\,x=\dfrac{\pi}{2}$
      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

= = = = =

Solucions:

    Exercici 1
Tenint en compte que la funció $f(x)=x^3$ és imparell i que el domini d'integració és simètric trobem que
$\displaystyle \int_{-3}^{3} \, x^3 \, dx=\left[ \dfrac{1}{4} \, x^4 \right]_{-3}^{3}=0$
$\square$

    Exercici 2
$\displaystyle \mathcal{A}=2\,\int_{-3}^{3} \, x^3 \, dx=2\,\Bigg(\left[ \dfrac{1}{4} \, x^4 \right]_{0}^{3}\Bigg)=\dfrac{81}{2}$
$\square$

    Exercici 3
La funció cabal és la funció derivada de la funció que expressa el volum de líquid aportat, mesurat a l'instant de temps $t$

$Q(t)=\dfrac{V(t)}{dt}$

per tant, el volum d'aigua recaptat entre els instants de temps $t=1$ s i $t=10$ s ve donat per la integral definida

$\displaystyle \int_{1}{10} \, \big(t^2-t+1\big) \, dt = \left[ \dfrac{1}{3}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 + t \right]_{1}^{10}$

que, pel teorema de Barrow, és igual a

$\displaystyle \bigg( \dfrac{1}{3}\,\cdot\,10^3 - \dfrac{1}{2}\,\,\cdot\,10^2 + 10 \bigg) - \bigg( \dfrac{1}{3}\,\cdot\,1^3 - \dfrac{1}{2}\,\cdot\,1^2 + 1 \bigg) = \dfrac{585}{2} \; \text{m}^3$

$\square$

    Exercici 4

El treball efectuat per la força variable $f(x)=x$ en desplaçar el cos entre les posicions $x=4 \; \text{m}$ i $x=10 \; \text{m}$ és igual a la integral definida

$\displaystyle \int_{4}^{10} \, x \, dx = \left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{4}^{10}$

que, pel teorema de Barrow, resulta

$\displaystyle \dfrac{1}{2} \bigg( 10^2-4^2 \bigg) = 42 \; \text{J}$

$\square$

    Exercici 5
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin{x} \, dx = \left[ -\cos{x} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
que, pel teorema de Barrow, és igual a
$\displaystyle -\cos{\bigg( \dfrac{\pi}{2} \bigg)} - \bigg(-\cos{\big( -\dfrac{\pi}{2} \big) \bigg)} = 0$
$\square$

    Exercici 6
Com que el domini d'integració és simètric i la funció $f(x)=\sin{x}$ és imparell, trobem que
$\displaystyle \mathcal{A}= \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \, \sin{x} \, dx \right|+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin{x} \, dx$
que és igual a

$\displaystyle 2\, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \, \sin{x} \, dx$

i, pel teorema de Barrow, queda

$2 \, \big( 0 - (-1)\big)$

que és igual a $2$
$\square$

    Exercici 7
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos{x} \, dx = \left[ \sin{x} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$
que, pel teorema de Barrow, és igual a
$\displaystyle \sin{\big( \dfrac{\pi}{2} \big)} - \sin{\big( -\dfrac{\pi}{2} \big)} = 2$
$\square$

    Exercici 8
Com que $\cos{x} \ge 0$ per a $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$, el valor de l'àrea és igual al de la integral definida de l'exercici anterior

$\displaystyle \mathcal{A}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos{x} \, dx = 2$

$\square$

[autoría]