Introducció. El problema de l'àrea sota la corba
D'antic, ja es coneixien els mètodes de suma basats en dividir l'objecte en parts elementals per poder calcular de forma aproximada superficies i volums [ mètode de les \emph{fluxions}, emprat pels grecs (Arquímedes (s. III a.C.) ]. No obstant això no és fins el s. XVII, a l'època del càlcul (Newton, Barrow, i Leibniz, entre d'altres) que el mètode de les fluxions pren volada amb la potència que li donen les noves concepcions sobre el càlcul integral i diferencial.
A partir del concepte de funció (René Descartes, a començament del s. XVII), el problem de l'àrea fou formulat com el problema de calcular l'àrea tancada entre el traç de la funció $f(x)$ - que, en un principi, la considerarem definida positiva, i contínua en un interval $\left[a,b\right]$ - , els segments de recta perpendiculars a l'eix d'abscisses que passen pels extrems de la regió delimitada i el segment horizontal sobre l'eix d'abscisses determinat per aquestes dos extrems. Si la funció és continua, és evident que podem calcular l'àrea $\mathcal{A}$, entre una fita inferior i una fita superior: dividint la regió a integrar (entre els extrems $a$ i $b$, en un conjunt de rectangles d'igual amplada (per simplificar el procés), i que, per tant, pren el següent valor
$\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$
Llavors, podrem escriure
$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \, \Delta x \le \mathcal{A} \le \sum_{i=0}^{n} f(x_i + \Delta x) \, \Delta x$
Lògicament, hom espera que en passar al límit els sumatoris, quan $ \Delta x \rightarrow 0 $ (és a dir, quan $ n \rightarrow \infty$, aquests convergeixin al valor de $\mathcal{A}$.
Si ambdós límits existeixen i tenen el mateix valor ( podem parlar de límit, en singular, en el sentit global ), direm que la funció $f(x)$ és integrable segons Riemann. D'aquí ve el nom d'integral de Riemann o integral definida. Vegeu el següent exemple interactiu (GeoGebra).
Adonem-nos, però, que aquests límits poden no existir; si és aquest el cas, hom diu que $f(x)$ no és integrable segons Riemann, és a dir, no podem trobar el valor de l'àrea amb error nul.
La integral definida
Tenint ben present la connexió amb el problema de trobar l'àrea sota la corba, donarem una definició que, per bé que es troba en concordança amb el problema de trobar l'àrea sota la corba, transcendeix aquest significat.
Definició: Funció integral de $f(x)$
Considerem una funció $f(x)$, continua en l'interval $[a,b] \subset \mathbb{R}$; suposarem que aquesta funció $f$ és integrable segons Riemann, de tal manera que sigui possible establir una segona funció $F(x)$, contínua en $[a,b]$, que anomenarem funció integral de la funció $f$. Si, en particular, $f(x) \ge 0 \quad en \left[a,b\right]$, les imatges de la funció
delimitada entre $x=k$ (constant arbitrària) i un determinat valor de $x$, llavors
$\displaystyle F(x)=\int_{k}^{x} f(t) dt $
dóna l'àrea compresa entre el traç de la funció $f$, les rectes $x=a$ i $x=b$, i l'eix d'abscisses i s'anomena funció integral definida de $f(x)$
Observació:
Com ja s'ha comentat, el concepte d'integral definida, per bé que lligat, en principi, al problema de l'àrea sota la corba, va més enllà: expressa, en general, el valor d'una mesura (el resultat de la qual pot ser positiva, nul·la, o negativa), tal i com veurem en alguns dels exemples d'aplicació.
Propietats remarcables:
P1
$\displaystyle \int_{a}^{a} \, f(x)\,dx = 0$
P2
Si $a \le b \le c$, llavors
$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx + \int_{b}^{c} \, f(x)\,dx$
P3
$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = - \int_{b}^{a} \, f(x)\,dx$
Enunciarem, tot seguit, dos importants teoremes per al desenvolupament el càlcul integral.
1. Primer Teorema Fonamental del Càlcul:
Aquest teorema enllaça la noció de funció integral ( que expressa l'àrea sota la corba o integral de Riemann, dita també integral definida ) amb el concepte ja estudiat de funció primitiva d'una funció donada $f$
Enunciat:
Donada una funció $f(x)$, integrable en l'interval $\left[a,b\right]$, la funció integral
$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$
compleix que
$F^{'}(x)=f(x)$
2. Segon Teorema Fonamental del Càlcul:
(teorema de Barrow)
A partir del resultat anterior, es demostra que:
Enunciat:
coneguda la funció integral $F(x)$, i si $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b\right]$, el valor de la integral definida, entre les abscisses $x=a$ i $x=b$ (dits límits d'integració), és igual a $F(b)-F(a)$, és a dir
$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$
Observacions sobre el càlcul de l'àrea sota la corba a partir del valor de la integral definida:
Observació 1:
Si $f(x) \le 0 \quad \forall x \in \left[a,b\right]$, llavors
$\displaystyle \mathcal{A}=\left|\int_{a}^{b} \, f(x)\,dx \right| = \left| F(b)-F(a) \right|$
Observació 2:
Si $f(x)$ talla l'eix d'abcisses en diversos punts de l'interval $\left[a,b\right]$ ( és a dir, si hi $f$ té $p$ arrels $\{r_{1},r_{2},\ldots,r_{p}\}$ en $\left[a,b\right]$ ) el valor de l'àrea sota la corba $\mathcal{A}$ és igual a la suma del valor absolut de les integrals definides que tenen per límits d'integració $a$ i $r_1$, $r_1$ i $r_2$, $\ldots$, i $r_p$ i $b$
$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{a}^{r_1} \, f(x)\,dx \right|+\left| \int_{r_1}^{r_2} \, f(x)\,dx \right|+\ldots+\left| \int_{r_p}^{b} \, f(x)\,dx \right|$
$\square$
[autoría]
