Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 30 de noviembre al 6 de diciembre

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 23 al 29 de noviembre

Ejemplo de cálculo de la solución de un sistema compatible determinado empleando el método de la matriz inversa

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&=&1 \\ x&+&2y&+&3z&=&0 \\ x&+&y&+&2z&=&0\end{matrix}\right.$$ a) Escríbase dicho sistema en forma matricial, y, sin resolverlo, demuéstrese que se trata de un sistema compatible determinado
b) Resuélvase mediante el método de la matriz inversa.

SOLUCIÓN.
a)
$$\begin{pmatrix}1&2&1\\ 1& 2 & 3 \\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix}$$ que puede abreviarse de la forma $$AX=B \quad (1)$$ siendo $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, $X$ la matriz columna con las incógnitas, y $B$ la matriz columna de los términos independientes.

Como $\text{det}(A)=2 \neq 0$, el rango de $A$ es $3$ y el rango de la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes es también $3$ ya que contiene como submatriz a la matriz de los coeficientes $A$. Además, este rango común, $r=3$ es igual al número de incógnitas. Así pues, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

b)
Como el rango de la matriz de los coeficientes $A$ es $3$, que es igual al orden de la matriz, dicha matriz $A$ es regular ( inversible ), luego tiene inversa. Por consiguiente, de (1), podemos calcular la matriz de las incógnitas, multiplicando por la matriz inversa por la izquierda en ambos miembros:
$AX=B$
  $A^{-1}\,AX=A^{-1}\,B$
    $I\,X=A^{-1}\,B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$, con lo cual:
      $X=A^{-1}\,B \quad (2)$


El cálculo de la matriz inversa de $A$ puede realizarse a partir del método de Gauss-Jordan o bien a partir del método de la matriz de los elementos adjuntos ( cofactores ). Omito este cálculo rutinario. El resultado es: $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$
Así, de (2), llegamos a: $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$ esto es $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\1/2 \\ -1/2\end{pmatrix}$$ $\square$

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 16 al 22 de noviembre

CORRECCIÓN DE UN ERROR DE DICCIÓN EN EL VÍDEO: En el instante 4:18, donde digo "(...) si tengo que utilizar la segunda columna no lo voy a conseguir (...)", quería decir "(...) si tengo que utilizar la segunda fila no lo voy a conseguir (...)".

A continuación, podéis ver una variante de resolución que me parece bastante interesante:

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones ...

ENUNCIADO. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 metros cúbicos y un espacio no refrigerado de 40 metros cúbicos. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado ( la capacidad de cada camión es de 60 metros cúbicos ). La contratan para el transporte de $3\,000$ metros cúbicos de producto que necesita refrigeración y $4\,000$ metros cúbicos de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo ?.


SOLUCIÓN.

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 9 al 15 de noviembre

Lista de reproducción:

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 2 al 8 de noviembre

Tarea de progresión número 2 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 12 de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sabiendo que: $$\begin{vmatrix}a& b & c \\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}=2$$ calcula el siguiene deterinante y explica las propiedades que utilices: $$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}$$
SOLUCIÓN.
$$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & c & b \\ d & f & e \\ g & i & h\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2b & c & b \\ 2e & f & e \\2h & i & h\end{vmatrix}=$$

$$=-\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & i & h\end{vmatrix}+2\,\begin{vmatrix}b & c & b \\ e & f & e \\h & i & h\end{vmatrix}=-2+0=-2$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 24 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Considera la matriz $A$ que dependen de un parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ a) ¿ Para qué valores de $a$ tiene $A$ inversa ? Justifica la respuesta
b) Para $a:=0$, halla la inversa de $A$
SOLUCIÓN.
a)
Para que una matriz $A$ de orden $n$ tenga matriz inversa, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de cero. Decimos entonces que la matriz $A$ es regular ( o inversible ). Entonces, $\begin{vmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-1)^3=0 \Leftrightarrow a=1$. Por consiguiente, $A$ tiene inversa si y sólo si $a\neq 1$.
b) Para $a:=0$, $A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, y se puede comprobar ( por el método de Gauss-Jordan, o bien por el de la matriz de los cofactores ) que la matriz inversa asociada es $A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\square$


-oOo- Ejercicio 35 de la página 63 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el rango de la matriz $A$ según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & a & 2\\ -1&0&-1&3\\ 5 & a+4& -4 & -3\end{pmatrix}$$ SOLUCIÓN.



-oOo- Ejercicio 50 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dado el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&z&=&1 \\ &&y&+&(a+1)\,z&=&0 \\ x&+&(a-1)\,y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ a) Discute el sistema según los valores del parámetro de $a$
b) Resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad.

SOLUCIÓN.


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EL PROBLEMA DE LA SEMANA del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 46 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una tienda de alimentación quiere ofrecer dos clases de bandejas: A y B. La bandeja A contiene $40$ gramos de queso manchego, $160$ gramos de roquefort y $80$ gramos de camembert; la bandeja B contiene $120$ gramos de cada uno de los tres tipos de queso anteriores. Para confeccionarlas disponen del $10,4$ kiglograms de queso manchego, $17,6$ kilogramos de roquefort y $11,2$ kilogramos de camembert.

El precio de venta es de $5,8$ euros la bandja A y de $7,32$ euros la bandeja B. El comerciante desea maximizar los ingresos.
a) Expresa la función objetivo.
b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y represnta gráficamente el recinto definido ( región factible ). c) Determina el número de bandejas que debe vender de cada clase para que los ingresos obtenidos sean máximos. Calcula el valor de dicho máximo de ingresos.



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Tarea de progresión número 1 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 53 de la página 26 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un $4\,\%$ en un cierto producto A, un $6\,\%$ en el producto B y un $5\,\%$ en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un $8\,\%$ sobre el precio inicial de $A$, un $10\,\%$ sobre el precio inicial de B y un $6\,\%$ sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra $16$ euros respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, al ahorro es de $29$ euros; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar $135$ euros.

Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.

SOLUCIÓN.
Denotando por $a,b$ y $c$ los precios de los tres productos, y de acuerdo con la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ \dfrac{4}{100}\,a+\dfrac{6}{100}\cdot 2\,b+\dfrac{5}{100}\cdot 3 \,c=16 \\ \dfrac{8}{100}\cdot 3\,a+\dfrac{10}{100}\,b+\dfrac{6}{100}\cdot 5\,c=29\end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ 4a+12b+15c=1\,600 \\ 24a+10b+30c=2\,900\end{matrix}\right.$$ y reduciéndolo por Gauss se obtiene ( fácilmente ): $c=60$ euros, $b=50$ euros y $a=25$ euros.$\square$

-oOo- Ejercicio 86 de la página 29 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En un teatro hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son $3$ euros, $6$ euros y $12$ euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de $6\,600$ euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿ cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $a,b$ y $c$ al número de localidades vendidas de cada uno de los tres tipos ( respectivamente, A, B y C ). Entonces, según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\,600 \\ a= b+c \\ b=2c \end{matrix}\right.$$ De la terecera ecuación y la segunda ecuación vemos que $a=3c$, y sustituyendo en la primera llegamos a: $3c+2c+c=6\,600$, así $6\,c=6\,600 \Rightarrow c = 1\,100$ localidades de tipo C. Por consiguiente, $b=2\cdot 1\,100=2\,200$ localidades de tipo B, y $a=3\cdot 1\,100 = 3\,300$ localidades de tipo A. $\square$

-oOo- Ejercicio 24 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un constructor puede adquirir ladrillos ( L ), tejas (T), madera ( M ) y cemento (C ) de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por los elementos de la matriz $$\begin{pmatrix}8 & 13 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & 7 & 8 \\ 7 & 14 & 6 & 7\end{pmatrix}$$ El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita los siguientes paquetes:
a) Primera obra: $24$ de L, $5$ de T, $12$ de M y $18$ de C.
b) Segunda obra: $20$ de L, $7$ de T, $15$ de M y $20$ de C.
a) Tercera obra: $20$ de L, $4$ de T, $15$ de M y $15$ de C.
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿ Qué proveedor es el más económico ?.
SOLUCIÓN.


-oOo- Ejercicio 47 de la página 45 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema matricial: $$\left\{\begin{matrix}2A+3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix} \\ \\ \\ A-3B=\begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro la primera ecuación y la segunda ecuación, $$3A= \begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}$$ y por tanto $$3A= \begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} \Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}$$ Ahora, de la primera ecuación, $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2A$$ esto es $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}$$ y por tanto, $$B=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-\dfrac{2}{3}\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\1&7\\3&4\end{pmatrix}$$ $\square$


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