Determinar el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua en ...

ENUNCIADO. Sea la función definida a trozos $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1 \quad \text{si} \quad x > 0 \\ x+k \quad \text{si} \quad x \le 0 \end{matrix}\right. $$
donde el coeficiente $k$ del segundo tramo se considera como parámetro. ¿ Para qué valor de $m$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$ ? ( Justificar la respuesta de acuerdo a la definición de continuidad en un punto ).

SOLUCIÓN.
El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. El único punto que puede presentar problemas de continuidad es el punto de engarce de ambos tramos de función ( pues éstos son continuos de por sí ), esto es, en $x=0$. Por tanto, vamos a estudiar la continuidad en este punto. Las condiciones que se deben cumplir para que una función sea continua en un punto de abscisa $x_0$ ( aquí, $x_0=0$ ) son:

i) La función ha de estar definida en dicho punto. En nuestro caso, lo está, pues $f(0)=0+k=k$

ii) Ha de existir el límite global $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,f(x)=\ell$; en nuestro caso, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=\ell$
Efectivamente, existe dicho límite, pues los límites laterales existen: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=0^2+1=1$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0+k=k$. Para que, además, coincidan, ha de suceder que $k=1$; y, por tanto, $\ell=1$

iii) El valor del límite (ii) ha de ser igual al valor de la función en dicho punto: $f(x_0)=\ell$; en nuestro caso, $f(0)=k=\ell$

Así, pues, las tres condiciones se cumplen si $k=1$, luego la función es continua en $x=0$ ( y por tanto para todo $x \in \text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ ) si $k=1$. $\square$