lunes, 29 de febrero de 2016
Analizar la función ...
ENUNCIADO. Analizar y representar gráficamente la función $$f(x)=x^3-2x^2-5x+6$$
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
Recta tangente a la gráfica de una función en un punto
ENUNCIADO. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=-x^4+1$ en el punto $P$ de abscisa $x_P=\frac{1}{2}$
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
La suma de dos números reales es igual a $1$. ¿ Cuáles son dichos números si su producto es máximo ?
ENUNCIADO. La suma de dos números reales es igual a $1$. ¿ Cuáles son dichos números si su producto es máximo ? ¿ Cuál es el valor de dicho máximo ?.
Un ejercicio completo de integración
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^2+5x+6$. Se pide:
a) Calcular la integral indefinida $\int\,f(x)\,dx$
b) Calcular la integral definida $\int_{-3}^{-2}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área delimitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas
SOLUCIÓN:
a) Calcular la integral indefinida $\int\,f(x)\,dx$
b) Calcular la integral definida $\int_{-3}^{-2}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área delimitada por la gráfica de la función y el eje de abscisas
SOLUCIÓN:
domingo, 28 de febrero de 2016
jueves, 11 de febrero de 2016
martes, 9 de febrero de 2016
Determinar el valor del parámetro $k$ para que la función sea continua en ...
ENUNCIADO. Sea la función definida a trozos $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1 \quad \text{si} \quad x > 0 \\ x+k \quad \text{si} \quad x \le 0 \end{matrix}\right. $$
donde el coeficiente $k$ del segundo tramo se considera como parámetro. ¿ Para qué valor de $m$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$ ? ( Justificar la respuesta de acuerdo a la definición de continuidad en un punto ).
SOLUCIÓN.
El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. El único punto que puede presentar problemas de continuidad es el punto de engarce de ambos tramos de función ( pues éstos son continuos de por sí ), esto es, en $x=0$. Por tanto, vamos a estudiar la continuidad en este punto. Las condiciones que se deben cumplir para que una función sea continua en un punto de abscisa $x_0$ ( aquí, $x_0=0$ ) son:
i) La función ha de estar definida en dicho punto. En nuestro caso, lo está, pues $f(0)=0+k=k$
ii) Ha de existir el límite global $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,f(x)=\ell$; en nuestro caso, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=\ell$
Efectivamente, existe dicho límite, pues los límites laterales existen: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=0^2+1=1$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0+k=k$. Para que, además, coincidan, ha de suceder que $k=1$; y, por tanto, $\ell=1$
iii) El valor del límite (ii) ha de ser igual al valor de la función en dicho punto: $f(x_0)=\ell$; en nuestro caso, $f(0)=k=\ell$
Así, pues, las tres condiciones se cumplen si $k=1$, luego la función es continua en $x=0$ ( y por tanto para todo $x \in \text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ ) si $k=1$. $\square$
donde el coeficiente $k$ del segundo tramo se considera como parámetro. ¿ Para qué valor de $m$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$ ? ( Justificar la respuesta de acuerdo a la definición de continuidad en un punto ).
SOLUCIÓN.
El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. El único punto que puede presentar problemas de continuidad es el punto de engarce de ambos tramos de función ( pues éstos son continuos de por sí ), esto es, en $x=0$. Por tanto, vamos a estudiar la continuidad en este punto. Las condiciones que se deben cumplir para que una función sea continua en un punto de abscisa $x_0$ ( aquí, $x_0=0$ ) son:
i) La función ha de estar definida en dicho punto. En nuestro caso, lo está, pues $f(0)=0+k=k$
ii) Ha de existir el límite global $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,f(x)=\ell$; en nuestro caso, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=\ell$
Efectivamente, existe dicho límite, pues los límites laterales existen: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\,f(x)=0^2+1=1$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\,f(x)=0+k=k$. Para que, además, coincidan, ha de suceder que $k=1$; y, por tanto, $\ell=1$
iii) El valor del límite (ii) ha de ser igual al valor de la función en dicho punto: $f(x_0)=\ell$; en nuestro caso, $f(0)=k=\ell$
Así, pues, las tres condiciones se cumplen si $k=1$, luego la función es continua en $x=0$ ( y por tanto para todo $x \in \text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ ) si $k=1$. $\square$
Un problema de máximos y mínimos
ENUNCIADO. Considerar un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio igual a $1$ metro. ¿ Cuáles deben ser las longitudes de sus lados para que el área de los segmentos circulares sea mínima ?.
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Analizar y representar la gráfica de la función
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^3+x^2-2x$. Se pide:
a) Decir cuál es el dominio de definición de $f$
b) Encontrar el conjunto de raíces de $f$
c) ¿ Cuál es la ordenada en el origen de $f$ ?
d) Determinar los extremos relativos de $f$ y analizarlos
e) Decir cuáles son los intervalos de crecimiento/decrecimiento de $f$
f) ¿ Tiene $f$ máximo absoluto ? ¿ Y mínimo absoluto ? ( Razonar la respuesta )
g) Calcular los puntos de inflexión de $f$
h) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad
i) Determinar el recorrido ( conjunto imagen ) de $f$
j) Finalmente, a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, representar la gráfica de la función
SOLUCIÓN.
a) Decir cuál es el dominio de definición de $f$
b) Encontrar el conjunto de raíces de $f$
c) ¿ Cuál es la ordenada en el origen de $f$ ?
d) Determinar los extremos relativos de $f$ y analizarlos
e) Decir cuáles son los intervalos de crecimiento/decrecimiento de $f$
f) ¿ Tiene $f$ máximo absoluto ? ¿ Y mínimo absoluto ? ( Razonar la respuesta )
g) Calcular los puntos de inflexión de $f$
h) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad
i) Determinar el recorrido ( conjunto imagen ) de $f$
j) Finalmente, a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, representar la gráfica de la función
SOLUCIÓN.
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