sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales, compatible determinado, eligiendo uno de los siguientes métodos: a) método de Cramer, o bien, b) método de Gauss:
$$\left\{\begin{matrix}-2\,x & +& y&-&z&=&1\\ 3\,x & -& y&+&z&=&1\\ x &+ &y &+&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Dadas las características del sistema, es aconsejable emplear el método de Gauss, por la facilidad de cálculo que podemos prever ( los valores de los coeficientes son números muy manejables ):

Permutando ( por comodidad ) el orden de las ecuaciones primera y tercera, el sistema ( que, por supuesto, es equivalente al original ) puede escribirse de la forma
$$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ 3\,x & -& y&+&z&=&1\\ -2\,x & +& y&-&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

Mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones $$-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$$ $$2\,e_1+e_3\rightarrow e_3$$ obtenemos el siguiente sistema equivalente ( 1ª etapa del escalonamiento completada ) $$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ & & -4\,y&-&2\,z&=&-2\\ & & 3\,y&+&z&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ dividiendo por $-2$ los dos miembros de la segunda ecuación, $$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ & & 2\,y&+&z&=&1\\ & & 3\,y&+&z&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ Permutando el orden de $z$ e $y$ en las tres ecuaciones ( para facilitar la segunda etapa del escalonamiento ) $$\left\{\begin{matrix}x &+ &z &+&y&=&1\\ & & z&+&2\,y&=&1\\ & & z&+&3\,y&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ y, realizamos la siguiente operación elemental entre la segunda y la tercera ecuación: $e_3-e_3 \rightarrow e_3$, con lo cual llegamos al siguiente sistema escalonado y equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}x &+ &z &+&y&=&1\\ & & z&+&2\,y&=&1\\ & & &&-y&=&-2\\ \end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación obtenemos $y=2$. Sustituyendo este valor en la segunda, $z+2\cdot 2=1$ y por tanto $z=1-4=-3$. Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, vemos que $x+(-3)+2=1$, y de aquí, encontramos el valor de la primera variable: $x=2$.

Para terminar, nos tomamos la molestia de comprobar la validez de los resultados obtenidos, y, para ello, basta sustituirlos en cualquier ecuación del sistema original, para ver si se cumple la igualdad numérica. En efecto, sustituyendo, por ejemplo, en la tercera ecuación ( la tercera original ): $2+2+(-3) \overset{?}{=}1$; y, así es, ya que el valor numérico del primer miembro es igual a $1$.

Nota: Para resolverlo empleando el método de Cramer, seguiremos el mismo proceso que en la segunda parte de [ este otro ejercicio ].
$\square$