Ejercicios resueltos del examen de recuperación de los temas 1,2,3 y 4 ( realizado el día 08/01/2016 )

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sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales, compatible determinado, eligiendo uno de los siguientes métodos: a) método de Cramer, o bien, b) método de Gauss:
$$\left\{\begin{matrix}-2\,x & +& y&-&z&=&1\\ 3\,x & -& y&+&z&=&1\\ x &+ &y &+&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Dadas las características del sistema, es aconsejable emplear el método de Gauss, por la facilidad de cálculo que podemos prever ( los valores de los coeficientes son números muy manejables ):

Permutando ( por comodidad ) el orden de las ecuaciones primera y tercera, el sistema ( que, por supuesto, es equivalente al original ) puede escribirse de la forma
$$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ 3\,x & -& y&+&z&=&1\\ -2\,x & +& y&-&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

Mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones $$-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$$ $$2\,e_1+e_3\rightarrow e_3$$ obtenemos el siguiente sistema equivalente ( 1ª etapa del escalonamiento completada ) $$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ & & -4\,y&-&2\,z&=&-2\\ & & 3\,y&+&z&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ dividiendo por $-2$ los dos miembros de la segunda ecuación, $$\left\{\begin{matrix}x &+ &y &+&z&=&1\\ & & 2\,y&+&z&=&1\\ & & 3\,y&+&z&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ Permutando el orden de $z$ e $y$ en las tres ecuaciones ( para facilitar la segunda etapa del escalonamiento ) $$\left\{\begin{matrix}x &+ &z &+&y&=&1\\ & & z&+&2\,y&=&1\\ & & z&+&3\,y&=&3\\ \end{matrix}\right.$$ y, realizamos la siguiente operación elemental entre la segunda y la tercera ecuación: $e_3-e_3 \rightarrow e_3$, con lo cual llegamos al siguiente sistema escalonado y equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}x &+ &z &+&y&=&1\\ & & z&+&2\,y&=&1\\ & & &&-y&=&-2\\ \end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación obtenemos $y=2$. Sustituyendo este valor en la segunda, $z+2\cdot 2=1$ y por tanto $z=1-4=-3$. Y sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, vemos que $x+(-3)+2=1$, y de aquí, encontramos el valor de la primera variable: $x=2$.

Para terminar, nos tomamos la molestia de comprobar la validez de los resultados obtenidos, y, para ello, basta sustituirlos en cualquier ecuación del sistema original, para ver si se cumple la igualdad numérica. En efecto, sustituyendo, por ejemplo, en la tercera ecuación ( la tercera original ): $2+2+(-3) \overset{?}{=}1$; y, así es, ya que el valor numérico del primer miembro es igual a $1$.

Nota: Para resolverlo empleando el método de Cramer, seguiremos el mismo proceso que en la segunda parte de [ este otro ejercicio ].
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Programación lineal

ENUNCIADO. Un ferry lleva automóviles y camiones en la bodega. Cada camión ocupa cuatro plazas de automóvil. Se sabe que, si el barco transportase solamente automóviles, la superficie total de la bodega permitiría alojar, a lo sumo, $200$ automóviles. Cada automóvil pesa $1000$ kg, y cada camión, $9000$ kg. El peso total permitido para la carga es de $300\,000$ kg. La compañía cobra $50$ euros por cada automóvil y $300$ euros por cada camión. ¿ Cuántos automóviles y cuántos camiones deberían cargar para maximizar los ingresos ? ¿ Cuál es el valor de dicho máximo ?.

SOLUCIÓN.

Programación lineal

ENUNCIADO. Determínese un sistema de restricciones ( desigualdades ) al cual le corresponda la región factible dada por el triángulo de vértices $A(0,1)$, $B(2,0)$ y $C(3,4)$

SOLUCIÓN. Procedemos a determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por las parejas de este conjunto de puntos.

Denotemos por $r_1$ a la recta que pasa por $A(0,1)$ y $C(3,4)$, entonces dicha recta escrita en forma continua es $\dfrac{x-3}{3-0}=\dfrac{y-4}{4-1}$ y, despejando $y$, llegamos a $r_1:y=x+1$

Denotemos por $r_2$ a la recta que pasa por $B(2,0)$ y $C(3,4)$, entonces dicha recta escrita en forma continua es $\dfrac{x-3}{3-2}=\dfrac{y-4}{4-0}$ y, despejando $y$, llegamos a $r_2:y=4x-8$

Denotemos por $r_3$ a la recta que pasa por $A(0,1)$ y $B(2,0)$, entonces dicha recta escrita en forma continua es $\dfrac{x-0}{0-2}=\dfrac{y-1}{1-0}$ y, despejando $y$, llegamos a $r_3:y=-\dfrac{1}{2}\,x+1$

Así, ya podemos dibujar la región factible en un diagrama cartesiano:

Finalmente, y a la vista del gráfico de la región factible, ya podemos escribir el sistema de desigualdades: $$\left\{\begin{matrix}y\le x+1\\y\ge 4x -8 \\ y \ge -\dfrac{1}{2}x+1\end{matrix}\right.$$

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Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Empleando el teorema de Rouché-Fröbenis, discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $k$, y resolverlo en los casos que proceda.
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
2 & -1 & 2\\
k & 2 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$

SOLUCIÓN.