Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A)=0,4$; $P(A \cup B)=0,5$; $P(B|A)=0,5$. Calcúlese: a) $P(B)$ b) $P(A|\bar{B})$

Enunciado:
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A)=0,4$; $P(A \cup B)=0,5$; $P(B|A)=0,5$. Calcúlese:
a) $P(B)$
b) $P(A|\bar{B})$

Solución:
a)
De la propiedad $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ y de la definición de probabilidad condicionada $P(A \cap B)=P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$, deducimos
$P(B)=P(A \cup B) - P(A) + P(B|A)\,P(A)$, con lo cual $P(B)=0,5-0,4 + 0,5 \cdot 0,4 = 0,3=\dfrac{3}{10}$

b)
Como $P(B|A)=0,5$, entonces $P(\bar{B}|A)=1-0,5=0,5$. Por otra parte, $P(A \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap A)$, luego $P(A|\bar{B})\,P(\bar{B})=P(\bar{B}|A)\,P(A)$ por lo que $P(A|\bar{B})=\dfrac{P(\bar{B}|A)\,P(A)}{P(\bar{B})}$, y, teniendo en cuenta que, por la propiedad del contrario, $P(\bar{B})=1-P(B)=1-0,3=0,7$, sustituyendo los datos llegamos al resultado pedido:
$P(A|\bar{B})=\dfrac{0,5\cdot 0,4}{0,7}=\dfrac{0,2}{0,7}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]