Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ ...

Enunciado:
Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0 \\
1 & -2 \\
\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

(a) Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.
(b) Resuélvase la ecuación matricial
$$A \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
5 \\
\end{pmatrix}$$

Solución:

a)
$A^t=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}$

$A^{t} \, B=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}
\,
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5 & 0 \\
5 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Cálculo de la matriz inversa de $A^{t}\,B$:
  Procedemos por el método de Gauss Jordan, esto es, transformando $(\square | I_3) \rightarrow ( I_3 | \square^{-1})$, mendiante operaciones elementales por filas:

$\left(\begin{array}{cc|cc}
5 & 5 & 1 & 0\\
5 & 1 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\underset{f_2-f_1 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{cc|cc}
5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}\right)
\underset{\frac{1}{5}\,f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/5 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}\right)
$
por tanto
$(A^{t}\,B)^{-1}=
\left(\begin{array}{cc}
1/5 & 0\\
-1 & 1\\
\end{array}\right)
$

b)
$\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0 \\
1 & -2 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
5 \\
\end{array}\right)$
con lo cual
$
\left\{\begin{matrix}
2x &+&y&=&0 \\
-x &&&=&-1 \\
x &-&2y&=&5 \\
\end{matrix}\right.$
De la segunda ecuación, $x=1$, y, sustituyendo en la primera o bien en la segunda indistintamente se obtiene $y=-2$ ( el sistema es compatible determinado)

$\square$

[nota del autor]