Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ ...

Enunciado:
Sean las matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

(a) Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.
(b) Resuélvase la ecuación matricial
$$A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$$

Solución:

a)
$A^t=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}$

$A^{t} \, B=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Cálculo de la matriz inversa de $A^{t}\,B$:
  Procedemos por el método de Gauss Jordan, esto es, transformando $(\square | I_3) \rightarrow ( I_3 | \square^{-1})$, mendiante operaciones elementales por filas:

$\left(\begin{array}{cc|cc} 5 & 5 & 1 & 0\\ 5 & 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \underset{f_2-f_1 \rightarrow f_2}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right) \underset{\frac{1}{5}\,f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1/5 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right)$
por tanto
$(A^{t}\,B)^{-1}= \left(\begin{array}{cc} 1/5 & 0\\ -1 & 1\\ \end{array}\right)$

b)
$\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 5 \\ \end{array}\right)$
con lo cual
$\left\{\begin{matrix} 2x &+&y&=&0 \\ -x &&&=&-1 \\ x &-&2y&=&5 \\ \end{matrix}\right.$
De la segunda ecuación, $x=1$, y, sustituyendo en la primera o bien en la segunda indistintamente se obtiene $y=-2$ ( el sistema es compatible determinado)

$\square$

[nota del autor]