Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos elementales $\{A_i\}$ donde $i=1,2,3\,\ldots\,n$ tales que $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$; por ser elementales, son incompatibles, y por tanto, la intersección de los mismos, dos a dos, es nula. Sea $B$ un suceso compuesto, demostrar: a) $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$ ( Teorema de la Probabilidad Total ) b) $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ ( Teorema de Bayes )

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos elementales $\{A_i\}$ donde $i=1,2,3\,\ldots\,n$ tales que $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$; por ser elementales, son incompatibles, y por tanto, la intersección de los mismos, dos a dos, es nula. Sea $B$ un suceso compuesto, demostrar:
  a) $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$   ( Teorema de la Probabilidad Total )
  b) $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ para todo $i=1,2,\ldots$   ( Teorema de Bayes )

Solución:

a)
Podemos escribir la probabilidad del suceso compuesto $B$ como ( figura )
$P(B)=P\big((B \cap A_1)\cup (B \cap A_2) \cup \ldots (B \cap A_n)\big)$
y como los sucesos $(B \cap A_i)$ para todo $i=1,2,\ldots$ son incompatibles la expresión anterior se puede expresar de la forma
$P(B)=P(B \cap A_1)+P(B \cap A_2)+\ldots+P(B \cap A_n)$
Y por la definición de probabilidad condicionada, $P(B \cap A_i)=P(B|A_i)\,P(A_i)$ para todo $i=1,2,\ldots$, por lo que, queda demostrada la proposición
$P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_1)\,P(A_n)$
que podemos escribir de la siguiente forma
$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$

b)
Teniendo en cuenta que dados dos sucesos $X$ e $Y$ se cumple $P(X \cap Y)=P(Y \cap X)$, en particular podemos escribir $P(B \cap A_i)=P(A_i \cap B)$ para todo $i=1,2,\ldots$, luego
por la definición de probabilidad condicionada, $P(B|A_i)\,P(A_i)=P(A_i|B)\,P(B)$ para todo $i=1,2,\ldots$, con lo cual, $P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ y, por consiguiente, teniendo en cuenta el Teorema de la Probabilidad Total concluimos que $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$, para todo $i=1,2,\ldots$.

$\square$

[nota del autor]