Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean $A$ y $B$ dos sucesos, justifique la siguiente propiedad: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean $A$ y $B$ dos sucesos, justifique la siguiente propiedad: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Solución:
Por el principio de inclusión-exclusión se cumple la siguiente relación entre los cardinales de los conjuntos $A \cup B$, $A$, $B$ y $A \cap B$:
$\text{Card}(A \cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A \cap B)$, luego por el principio de Laplace, debe cumplirse $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

Observación:   En el caso de que $A$ y $B$ sean incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ y por tanto $P(A \cap B)=0$ ) de la propiedad general ( válida para sucesos, en general, compatibles ) se escribe para este caso particular de la siguiente forma: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

$\square$

[nota del autor]