El problema de los aniversarios

Pueden leer el artículo en el [ blog de Matemáticas II ]

[nota del autor]

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A)=0,4$; $P(A \cup B)=0,5$; $P(B|A)=0,5$. Calcúlese: a) $P(B)$ b) $P(A|\bar{B})$

Enunciado:
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A)=0,4$; $P(A \cup B)=0,5$; $P(B|A)=0,5$. Calcúlese:
a) $P(B)$
b) $P(A|\bar{B})$

Solución:
a)
De la propiedad $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ y de la definición de probabilidad condicionada $P(A \cap B)=P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$, deducimos
$P(B)=P(A \cup B) - P(A) + P(B|A)\,P(A)$, con lo cual $P(B)=0,5-0,4 + 0,5 \cdot 0,4 = 0,3=\dfrac{3}{10}$

b)
Como $P(B|A)=0,5$, entonces $P(\bar{B}|A)=1-0,5=0,5$. Por otra parte, $P(A \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap A)$, luego $P(A|\bar{B})\,P(\bar{B})=P(\bar{B}|A)\,P(A)$ por lo que $P(A|\bar{B})=\dfrac{P(\bar{B}|A)\,P(A)}{P(\bar{B})}$, y, teniendo en cuenta que, por la propiedad del contrario, $P(\bar{B})=1-P(B)=1-0,3=0,7$, sustituyendo los datos llegamos al resultado pedido:
$P(A|\bar{B})=\dfrac{0,5\cdot 0,4}{0,7}=\dfrac{0,2}{0,7}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ ...

Enunciado:
Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0 \\
1 & -2 \\
\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

(a) Calcúlese $(A^{t}\,B)^{-1}$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.
(b) Resuélvase la ecuación matricial
$$A \cdot \begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
5 \\
\end{pmatrix}$$

Solución:

a)
$A^t=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}$

$A^{t} \, B=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}
\,
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
0 & 2 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
5 & 0 \\
5 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Cálculo de la matriz inversa de $A^{t}\,B$:
  Procedemos por el método de Gauss Jordan, esto es, transformando $(\square | I_3) \rightarrow ( I_3 | \square^{-1})$, mendiante operaciones elementales por filas:

$\left(\begin{array}{cc|cc}
5 & 5 & 1 & 0\\
5 & 1 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\underset{f_2-f_1 \rightarrow f_2}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{cc|cc}
5 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}\right)
\underset{\frac{1}{5}\,f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1/5 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}\right)
$
por tanto
$(A^{t}\,B)^{-1}=
\left(\begin{array}{cc}
1/5 & 0\\
-1 & 1\\
\end{array}\right)
$

b)
$\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0 \\
1 & -2 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
5 \\
\end{array}\right)$
con lo cual
$
\left\{\begin{matrix}
2x &+&y&=&0 \\
-x &&&=&-1 \\
x &-&2y&=&5 \\
\end{matrix}\right.$
De la segunda ecuación, $x=1$, y, sustituyendo en la primera o bien en la segunda indistintamente se obtiene $y=-2$ ( el sistema es compatible determinado)

$\square$

[nota del autor]

Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean $A$ y $B$ dos sucesos, justifique la siguiente propiedad: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean $A$ y $B$ dos sucesos, justifique la siguiente propiedad: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Solución:
Por el principio de inclusión-exclusión se cumple la siguiente relación entre los cardinales de los conjuntos $A \cup B$, $A$, $B$ y $A \cap B$:
$\text{Card}(A \cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A \cap B)$, luego por el principio de Laplace, debe cumplirse $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

Observación:   En el caso de que $A$ y $B$ sean incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ y por tanto $P(A \cap B)=0$ ) de la propiedad general ( válida para sucesos, en general, compatibles ) se escribe para este caso particular de la siguiente forma: $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

$\square$

[nota del autor]

Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos elementales $\{A_i\}$ donde $i=1,2,3\,\ldots\,n$ tales que $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$; por ser elementales, son incompatibles, y por tanto, la intersección de los mismos, dos a dos, es nula. Sea $B$ un suceso compuesto, demostrar: a) $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$ ( Teorema de la Probabilidad Total ) b) $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ ( Teorema de Bayes )

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos elementales $\{A_i\}$ donde $i=1,2,3\,\ldots\,n$ tales que $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$; por ser elementales, son incompatibles, y por tanto, la intersección de los mismos, dos a dos, es nula. Sea $B$ un suceso compuesto, demostrar:
  a) $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$   ( Teorema de la Probabilidad Total )
  b) $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ para todo $i=1,2,\ldots $   ( Teorema de Bayes )

Solución:

a)
Podemos escribir la probabilidad del suceso compuesto $B$ como ( figura )
$P(B)=P\big((B \cap A_1)\cup (B \cap A_2) \cup \ldots (B \cap A_n)\big)$
y como los sucesos $(B \cap A_i)$ para todo $i=1,2,\ldots$ son incompatibles la expresión anterior se puede expresar de la forma
$P(B)=P(B \cap A_1)+P(B \cap A_2)+\ldots+P(B \cap A_n)$
Y por la definición de probabilidad condicionada, $P(B \cap A_i)=P(B|A_i)\,P(A_i)$ para todo $i=1,2,\ldots$, por lo que, queda demostrada la proposición
$P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_1)\,P(A_n)$
que podemos escribir de la siguiente forma
$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,P(B|A_i)\,P(A_i)$

b)
Teniendo en cuenta que dados dos sucesos $X$ e $Y$ se cumple $P(X \cap Y)=P(Y \cap X)$, en particular podemos escribir $P(B \cap A_i)=P(A_i \cap B)$ para todo $i=1,2,\ldots$, luego
por la definición de probabilidad condicionada, $P(B|A_i)\,P(A_i)=P(A_i|B)\,P(B)$ para todo $i=1,2,\ldots$, con lo cual, $P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$ y, por consiguiente, teniendo en cuenta el Teorema de la Probabilidad Total concluimos que $\displaystyle P(A_i|B)=\dfrac{P(B|A_i)\,P(A_i)}{P(B)}$, para todo $i=1,2,\ldots$.

$\square$

[nota del autor]

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:

  a) $A$ y $B$ son incompatibles
  b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
  c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Solución:

a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$

-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.

c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
    $=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$

$\square$

[nota del autor]