Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )

Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.

En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$

Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,

$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$

es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$

Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$

valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$