Un ejercicio de mínimos acerca del diseño de las latas de los refrescos

ENUNCIADO
Se quiere fabricar un bote cilíndrico con chapa de aluminio que tenga una capacidad de 1/3 de litro. Calcúlese el valor del radio de la base y el de la longitud de la generatriz para que la cantidad de chapa requerida sea mínima.

SOLUCIÓN
Denotempos por $x$ el radio del cilindro. Entonces $1/3=\pi\,x^2\,h$, donde $h$ es la altura. Así, $h=\dfrac{1}{3\,\pi\,x^2} \quad \quad (1)$. Designemos por $f(x)$ la función que proporciona el área total del cilindro ( dos veces el área de la base - hay dos tapas - más el área lateral, que es la de un rectángulo - ), por lo que podemos escribir $f(x)=2\pi\,x \cdot \dfrac{1}{3\,\pi\,x^2}+2\,\pi\,x^2$, esto es, $f(x)=\dfrac{2}{3x}+2\,\pi\,x^2$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, nos encontramos con la ecuación $-\dfrac{2}{3x^2}+4\,\pi\,x=0$, es decir, $\dfrac{12\,\pi\,x^3-2}{3x^2}=0 \Leftrightarrow 12\,\pi\,x^3-2=0 \Rightarrow x^{*}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{6\,\pi}}\,\text{dm}=\dfrac{100}{{\sqrt[3]{6\,\pi}}}\,\text{mm}\approx 37,6\,\text{mm}$. Se comprueba que este extremo relativo corresponde a un mínimo relativo, pues la primera derivada en un punto próximo a su izquierda es negativa, y a su derecha es positiva. El valor de $h^{*}$ lo calculamos sustituyendo la abcsisa del extremo relativo en (1), y, al simplificar el resultado, encontramos $h^{*}=\sqrt[3]{\dfrac{4}{3\,\pi}}=\sqrt[3]{\dfrac{8}{6\,\pi}}= \dfrac{2}{\sqrt[3]{6\,\pi}}=2\,r^{*} \approx 75,2\,\text{mm}$, dimensiones que se alejan notablemente de las de una lata de refresco ( de las habituales ); acaso, es por razones de márqueting a la hora de venderlas. ¿ No sería mejor ahorrar en chapa de aluminio ?. Yo creo que sí. Incluso sería mucho mejor utilizar envases de vidrio reutilizables ( botellas ). ¿ No os parece ?. $\square$