Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )

$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$

cumple que

$F^{'}(x)=f(x)$

Observación:
  . No todas las funciones tienen primitiva
  . Toda función continua tiene primitiva

Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$

Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $\Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$

$\square$