Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 22 al 28 de marzo

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Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 15 al 21 de marzo

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Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 8 al 14 de marzo

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Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 1 al 7 de marzo

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Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 22 al 28 de febrero

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Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )

$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$

cumple que

$F^{'}(x)=f(x)$

Observación:
  . No todas las funciones tienen primitiva
  . Toda función continua tiene primitiva

Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$

Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$

$\square$

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )

Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.

En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$

Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,

$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$

es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$

Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$

valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$