Enunciat:
El nombre d'individus d'una determinada població evoluciona segons els model següent:
$P(t)=400+18\,t-6\,t^{\frac{3}{2}}$
on $t$ indica el nombre d'anys transcorreguts des de l'inici de l'estudi.
(a) Determineu el valor la població quan va començar l'estudi, calculeu el valor de la població al cap d'un any i calculeu el valor de la taxa de creixement en aquest període.
(b) Al cap de quants anys després del començament de l'estudi va deixar de créixer la població de l'illa ? Quin va ser el nombre màxim d'individus ?.
Solució:
(a)
$P(0)=400+18\cdot 0-6\cdot 0^{\frac{3}{2}}=400+0-0=400 \, \text{individus}$
$P(1)=400+18\cdot 1-6\cdot 1^{\frac{3}{2}}=400+18-6=412\,\text{individus}$
Càlcul de la taxa de creixement, $\alpha$, en aquest període ( d'un any ):
$\alpha=\dfrac{P(1)-P(0)}{P(0)}$
$=\dfrac{412-400}{400}=0,03 \rightarrow 3\,\%$
(b)
La funció del model és contínua i derivable en tots els punts del domini d'existència, per tant trobarem els punts estacionaris ( extrems relatius ), la condició necessària dels quals és $P^{'}(t)=0$
Derivem $P(t)$:
$P^{'}(t)=18-9\,t^{\frac{1}{2}}$
i igualem a zero
$0=18-9\,t^{\frac{1}{2}} \Rightarrow t=4\, \text{anys}$
Com que sabem d'antuvi que la funció és creixent, l'extrem relatiu que acabem de trobar ha de correspondre a un màxim, punt a partir del qual la funció $P(t)$ deixa de créixer.
Per acabar el problema, calculem l'ordenada corresponent, que serà el valor del màxim relatiu i, donat que és l'únic, també correspondrà a l'extrem absolut
$P_{m\,ax}=P(4)=400+18\cdot 4-6\cdot 4^{\frac{3}{2}}$
$=400+72-2^3=464 \,\text{individus}$
$\square$
