Cálculo de límites de función

ENUNCIADO:
Calcular los siguientes límites:
a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin x}{x}$

b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1-\cos x}{x^2}$

c) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1-\cos x}{1-\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}}$

SOLUCIÓN:
En cada uno de los tres casos, al pasar al límite nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$ , que podemos resolver utilizando la regla de l'Hôpital:

a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\cos x}{1}=\cos 0=1$

b)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(1-\cos x)'}{(x^2)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin x}{2x}\overset{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(\sin x)'}{(2x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\cos x}{2}=\dfrac{1}{2}$

c)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{1-\cos x}{1-\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(1-\cos x)'}{\left(1-\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin x}{-\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}}=$
    $=\displaystyle-2\,\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin x}{e^x-e^{-x}}\overset{\frac{0}{0}}{=}-2\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(\sin x)'}{(e^x-e^{-x})'}=-2\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{\cos x}{e^x+e^{-x}}=-2\cdot \dfrac{1}{2}=-1$

$\square$

[nota del autor]