Tasas de variación y números índice

Enunciado:
En el periodo de un año, la tasa de crecimiento, $\alpha$, de una población ha sido del $5\,\%$. La población inicial estaba formada por $1000$ individuos. Se pide:
  (a) El valor de la población final ( al final del año )
  (b) El valor del índice de crecimiento anual, $\beta$, con base igual a $100$

Solución:

  (a)
La tasa de crecimiento, $\alpha$, en un determinado periodo $T$ se define como
    $\alpha=\dfrac{P_f-P_i}{P_i}$
donde $P_i$ es la población inicial ( en número de individuos), $P_f$ denota la población final y $T$ el periodo ( en el caso que nos ocupa es de un año), por tanto,
    $-1 \le \alpha \le 1$

Nota: Una tasa de variación positiva corresponde a un aumento de la población; un valor negativo de la tasa indica un descenso de la población, y un valor nulo corresponde a una situación en la que la población se mantiene constante.

Entonces,
    $\dfrac{P_f-1000}{1000}=0,05$

y, despejando $P_f$

    $P_f=1\,050 \; \text{individuos}$

  (b)
El índice de crecimiento, $\beta$, en un determinado periodo $T$ - recordemos que en nuestro caso es de $1$ año -, viene a representar la población final relativa a un base ( inicial ) dada.

Es decir, para un valor de referencia arbitrario ( convenido ) para la población inicial de referencia que denominamos base y que, en este problema, se nos dice que tomemos el valor $100$ para la misma, se define el índice de crecimiento, $\beta$, como la cantidad proporcional que correspondería a la población final. Así, el valor de un número índice será mayor que $1$ si la población final es mayor que la inicial; menor que uno, en el caso que la población final sea menor que la inicial, e igual a uno, si la población se mantiene constante.

Por tanto, si en un principio había $1000 \;\text{individuos}$, asignando el valor base $100 $ a esta cantidad, calculamos el valor del índice de crecimiento, $\beta$, mediante una simple proporción:
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$
és a dir
    $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{1050}{1000} \Rightarrow \beta=105$

Observación (relación explícita entre el valor de la tasa de variación y el valor del número índice): De $\dfrac{\beta}{100}=\dfrac{P_f}{P_i}$ se tiene que $\beta=\dfrac{P_f}{P_i}\cdot 100$ y teniendo en cuenta que $P_f=\alpha\,P_i + P_i$ podemos escribir que $\beta=\dfrac{\alpha\,P_i+P_i}{P_i}\cdot 100$ con lo cual $\beta=(\alpha+1)\cdot 100$, luego $\alpha=\dfrac{\beta}{100}-1$. En general, si en lugar de tomar como valor de base $100$ tomamos otro valor arbitrario, $b$, se tiene que $\alpha=\dfrac{\beta}{b}-1$.
En el ejemplo, comprobamos que así es: siendo el valor del índice $105$, entonces, $\dfrac{105}{100}-1=0,05$, que corresponde al valor de la tasa de variación.

Nota:   Los números índice se utilizan muy a menudo en Estadística. Son de gran utilidad en Economía; un ejemplo de número índice es el IPC.

Nota:   Tal y como ya se pone de manifiesto en este problema, no debemos confundir el concepto de número índice con el de tasa de variación, a pesar de que ambas nociones hagan referencia a una idea similar. Debemos destacar también otra diferencia importante entre un número índice y una tasa de variación: de acuerdo con la definición, si la base es positiva, un número índice no puede tomar un valor negativo; sin embargo, sí puede tomar un valor negativo una tasa de variación, cuando la población final es menor que la inicial.

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Resumen de la aproximación de la distribución binomial por la d. normal

Vamos a resumir algunas cosas importantes para poder hacer los cálculos de los problemas sobre las distribuciones de probabilidad elementales.

Dada una variable aleatoria que siga una distribución binomial ( que es una d. discreta), $X \sim B(n,p)$, puede ésta aproximarse por una variable aleatoria continua que sigue la distribución normal, $Y \sim N \big( pn\,,\,\sqrt{np(1-p)} \big)$, siempre que $n$ sea lo suficientemente grande, pongamos que $n \succ 10$, se cumpla que:
  (1) siendo $p$ mayor o igual que $0,5$, si $n\,(1-q)\ge 5$
  (2) siendo $p$ menor que $0,5$, si $n\,p \ge 5$

Recordemos que al realizar la transformación $Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$ ( tipificación de la variable ), siendo $\mu=n\,p$ y $\sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)}$ los parámetros de la distribución que sigue la v.a. $Y$,
se cumple $P\{Y\le k\}=P\{\dfrac{Y-\mu}{\sigma}\le \dfrac{k-\mu}{\sigma}\}$; ésto es, $P\{Z\le \dfrac{k-\mu}{\sigma}\}$, que es el valor de la función de distribución de probabilidad para $Z=k$, ésto es, $F(k)$, siendo $Z \sim N(0,1)$, con lo cual, podemos realizar los cálculos leyendo los valores de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ que vienen en las tablas.

Sin embargo, al aproximar una variable aleatoria discreta por una v.a. continua como es una normal, será necesario, además, hacer una corrección de continuidad, que consiste en sumar o restar media unidad a los valores de referencia de cálculo, tal como se indica en los siguientes casos:

    (i) Como $P\{Y=k\}=0$, pues $Y$ es una variable aleatoria continua, siendo, claro está, $P\{X=k\} \neq 0$, surge, pues, la necesidad de realizar una corrección de continuidad al utilizar la variable continua como aproximación, que, en buena lógica, deberá ser la siguiente $P\{X=k\}\approx P\{k-0,5 \le Y \le k+0,5\}$.

    (ii) Luego, para el caso $P\{a\le X\le b\}$, procede hacer la siguiente corrección de continuidad: $P\{a\le X\le b\} \approx P\{ Y \le b+0'5\}-P\{ Y \le a-0,5\}$.

    (iii) Para calcular $P\{X \prec k\}$, aproximamos por la variable continua y, por tanto, $P\{X \prec k\} \approx P\{Y \le k\} \le P\{ Y \le k+0'5\}$, y considerando, pues, dicha cota superior como mejor aproximación, haremos la corrección de continuidad para este caso de la siguiente forma: $P\{X \prec k\} \approx P\{ Y \le k+0'5\}$

    (iv) Y para calcular $P\{X \succ k\}$, tengamos en cuenta que $P\{X \succ k\}=P\{k \prec X\} \approx P\{k \le Y\} \le P\{k-0'5 \le Y\}$, luego considerando dicha cota superior como mejor aproximación, la corrección de continuidad se hará ahora de la forma: $P\{X \succ k \} \approx P\{ Y \ge k-0'5 \}$

          Observación: Con las distribuciones continuas, el que utilicemos desigualdades fuertes o débiles dará lo mismo, pues la probabilidad de un valor puntual es cero; así pues, si $Y$ es una variable aleatoria continua $P\{Y\prec k\}=P\{Y\le k\}$ así como $P\{Y\succ k\}=P\{Y\ge k\}$.

Ejemplo:
Sea $x \sim B(200\,,\,0'6)$. Calcular:
    a) $P\{X=140\}$
    b) $P\{X \prec 100 \}$
    c) $P\{X \prec 130 \}$
    d) $P\{110 \prec X \prec 130 \}$
    e) $P\{X \succ 150 \}$

Resolución:
    a) $P\{X=140\} \approx P\{Y=40\}$ donde $Y \sim N(200\cdot 0'6\,,\,\sqrt{200\cdot 0'6\cdot (1-0'6)}) \approx N(120\,,\,7)$
luego
$P\{X=140\} \approx P\{140-0'5 \le Y \le 140+0'5)$
    $=P\{Y \le 140'5\}-P\{Y \le 139'5)$
    $=P\{Z\le \dfrac{140'5-120}{7}\}-P\{Z\le \dfrac{139'5-120}{7}\}$
    $\approx P\{ Z \le 2'93 \} - P\{ Z \le 2'79 \}$
    $=F(2,93)-F(2'79)$
    $\approx 0'0009$

    b) $P\{X \prec 100 \} \approx P\{Y \le 100'5\}$
      $=P\{Z \le \dfrac{100'5-120}{7} \}$
      $\approx P\{Z \le -2'79\}=P\{Z \ge 2'79\}$
      $=1-P\{Z \le 2'79\}$
      $=1-F(2'79) \approx 1-0'9974=0'0026$

    c) $P\{X \prec 130 \} \approx P\{Y \le 130'5\}$
      $=P\{Z \le \dfrac{130'5-120}{7} \}$
      $\approx P\{Z \le 1'5\}=F(1'5)$
      $\approx 0'9332$

    d) $P\{110 \prec X \prec 130 \} \approx P\{-2'70 \le Z \le 1'5 \}$ ( aprovechando los cálculos de los apartados c) y d) )
      $=F(1'5)-F(-2'70)$
      $\approx 0'9332-0'0026$
      $\approx 0'9306$

    e) $P\{X \succ 150 \} \approx P\{ Y \ge 150-0'5 \} $
      $=P\{ Z \ge \dfrac{149'5-120}{7} \}$
      $=P\{ Z \ge 4'21 \}$
      $=1-P\{ Z \le 4'21 \}$
      $=1-F(4'21)$
      $=1-0'99999$
      $=0'00002$

$\square$

En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Enunciado :
En una finca agraria hay plantadas cincuenta manzanos . Cada árbol produce ochocientas manzanas . Por cada árbol adicional que plantamos , la producción de cada árbol se reduce en diez manzanas . ¿Cuántos árboles más necesitamos plantar para obtener la máxima producción? ¿Cuál es esta producción ? .

Solución :
Sea $x$ el número de árboles nuevos que se plantan y $f(x)$ la función que da el número total de manzanas producidas en la finca , que debe ser igual al producto del número total de árboles, $50+x$, por el número de manzanas que da cada árbol, $800-10\,x$, es decir
$f(x)=(50+x)\,(800-10\,x)$
que es una función polinómica de segundo grado y que también podemos escribir de la forma
$f(x)=-10\,x^2+300\,x+40\,000$
La curva que describe una función de este tipo es una parábola y, en este caso concreto, se abre hacia el sentido negativo del eje de ordenadas, ya que el coeficiente del término de segundo grande es negativo, por lo tanto, el vértice de la parábola es un máximo relativo ( que es también el m . absoluto ). La abscisa del vértice de una parábola viene dado por la fórmula
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
donde $b=​​300$ y $a=-10$ , por tanto
$x_v=-\dfrac{300}{2\cdot(-10)}=15$
    árboles
==
Nota: Esta fórmula del vértice se puede deducir de varias maneras , la más cómoda ( bachillerato ), pasa por imponer la condición necesaria de extremo relativo ( $f^{'}(x)=0$ ) y determinar de ahí los puntos estacionarios (evidentemente , en una parábola sólo hay uno : el vértice de la p. ) . En efecto , siendo
$f(x)=a\,x^2+b\,x+c$
la función derivada es
$f^{'}(x )=-2\,a\,x + b$
y, de ahí,
$x_v=-\dfrac{b}{2\,a}$
==
La razón dada sobre el coeficiente negativo del término de segundo grado garantiza que $ x_v = 15$ corresponda a un máximo relativo ( también absoluto , tratándose de una parábola ) . En conclusión ,
hay que plantar $15$ manzanos para maximizar la producción. Calculamos , por último, este valor máximo :
$f_{\text{max}}=f(15)=40\,000+300\cdot 15-10\cdot 15^2$
$ =42\,250\;\text{manzanas}$
$\square$

[nota del autor]