Ejercicios resueltos del 4.º examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del cuarto examen del primer trimestre

[nota del autor]

Un ejercicio de aplicación del Teorema de la Probabilidad Total y del Teorema de Bayes

Enunciado:
En un avión de línea regular existe clase turista y clase preferente. Las dos terceras partes del pasaje van en clase turista y el resto en clase preferente. Se sabe también que todos los pasajeros que viajan en clase preferente hablan inglés y que el $40\,\%$ de los pasajeros que viajan en clase turista no hablan inglés. Se elige un pasajero del avión al azar.
  a) Calcúlese la probabilidad de que el pasajero elegido hable inglés
  b) Se observa que el pasajero elegido habla inglés, ¿ cuál es la probabilidad de que viaje en clase turista ?.

Resolución:
Habiendo elegido el pasajero al azar, denominemos: $A$ al suceso habla inglés; $\bar{A}$, al suceso no habla inglés; $F$ al suceso viaja en preferente, y $T$ al suceso viaja en clase turista.
  a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total podemos escribir

$P(A)=P(A|F)\,P(F)+P(A|T)\,P(T) \quad \quad \quad (1)$
donde
$P(T)=\dfrac{2}{3}$
y como, por ser $F$ el suceso contrario de $T$ y que denotamos de la forma
$F=\bar{T}$, obtenemos
$P(F)=1-P(T)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$
además, la probabilidad que, sabiendo que el pasajero va en clase turista, hable inglés es
$P(\bar{A}|T)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5} \Rightarrow P(A|T)=1-P(\bar{A}|T)=\dfrac{3}{5}$
Por otra parte, la probabilidad que, sabiendo que un pasajero va en clase preferente, hable inglés es
$P(A|F)=1$

Sustituyendo estos valores en (1)
$P(A)=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3}$
es decir
$P(A)=\dfrac{11}{15} \approx 73\,\%$

  b)
Por el Teorema de Bayes

$P(T|A)=\dfrac{P(A|T)\,P(T)}{P(A)}$

y con las probabilidades calculadas, nos queda

$P(T|A)=\dfrac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{11}{15}}=\dfrac{6}{11} \approx 55\,\%$

$\square$

[nota del autor]

No aditividad del determinante

Enunciado:
Sean $A$ y $B$, matrices de orden $n$, tales que
$\text{det}(A)\neq 0$
y
$\text{det}(B)\neq 0$
Demostrar que
$\text{det}(A+B)\neq \text{det}(A)+\text{det}(B)$

Resolución:
Es suficiente con encontrar un contraejemplo.

Consideremos las matrices
$A=\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{pmatrix}$
y
$A=\begin{pmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{pmatrix}$

luego
$A+B=\begin{pmatrix}2+3 & 2+3 \\ 0&2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{pmatrix}$

Entonces
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 0&2\end{vmatrix}=4$

$\text{det}(B)=\begin{vmatrix}3 & 3 \\ 0&3\end{vmatrix}=9$

$\text{det}(A+B)=\begin{vmatrix}5 & 5 \\ 0&5\end{vmatrix}=25$

Como
$4+9=13 \neq 25$
concluimos que
$\text{det}(A)+\text{det}(B) \neq \text{det}(A+B)$
$\square$

[nota del autor]

Matriz ortogonal

Enunciado:
Sea la matriz
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  a) ¿ Qué significa que la matriz $B$ sea la matriu inversa de $A$ ?
  b) Encontrar el valor de $p$ para que la matriz inversa de $A$ sea igual a la matriz traspuesta $A$ ( es decir $A$ es una matriz ortogonal )

a)       Resolución:
$B=A^{-1}$ si, y sólo si, $A$ es una matrizregular ( invertible ) y, por tanto, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, donde $I_3$ es la matriz identidad d'orden $3$


b)       Resolución:
Recordemos que
$A^{-1}=\dfrac{(\text{Adj}(A))^t}{\text{det}(A}$
en otras palabras
$A^{-1}=\Big(\dfrac{\alpha_{ij}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}^{t}=\Big(\dfrac{\alpha_{ji}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}$
  para $i,j=1,2,3$
donde los cofactores $\alpha_{ij}$ se calculan de la siguiente manera
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,A_{ij}$
siendo $A_{ij}$ los adjuntos ( menores de orden $n-1$, donde, en este caso, $n=3$ ) que se obtienen de los elementos que quedan al suprimir la fila y la columna del elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$

Observemos que
$\alpha_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ p & -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}=-\frac{2p}{\sqrt{6}}$
y teniendo en cuenta que
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=\{f_2+f_3\rightarrow f_2; f_1+f_3 \rightarrow f_1\}$

        $=\begin{vmatrix}p+\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ \\ p&0 &-\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\,\begin{vmatrix} 0 &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p& -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}$
el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz inversa es
$\dfrac{-\frac{2p}{\sqrt{6}}}{-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}$
y como se nos dice que $A^{-1}$ es igual a $A^t$, este valor deberá coincidir con el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz traspuesta de $A$, que es
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
es decir
$\dfrac{\frac{2p}{\sqrt{6}}}{(p+\frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
de donde, resolviendo esta ecuación de primer grado, obtenemos el valor que toma $p$
$p=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

[nota del autor]