sábado, 13 de febrero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 15 al 21 de febrero
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domingo, 7 de febrero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 8 al 14 de febrero
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sábado, 6 de febrero de 2021
Un ejercicio de mínimos acerca del diseño de las latas de los refrescos
ENUNCIADO
Se quiere fabricar un bote cilíndrico con chapa de aluminio que tenga una capacidad de 1/3 de litro. Calcúlese el valor del radio de la base y el de la longitud de la generatriz para que la cantidad de chapa requerida sea mínima.
SOLUCIÓN
Denotempos por $x$ el radio del cilindro. Entonces $1/3=\pi\,x^2\,h$, donde $h$ es la altura. Así, $h=\dfrac{1}{3\,\pi\,x^2} \quad \quad (1)$. Designemos por $f(x)$ la función que proporciona el área total del cilindro ( dos veces el área de la base - hay dos tapas - más el área lateral, que es la de un rectángulo - ), por lo que podemos escribir $f(x)=2\pi\,x \cdot \dfrac{1}{3\,\pi\,x^2}+2\,\pi\,x^2$, esto es, $f(x)=\dfrac{2}{3x}+2\,\pi\,x^2$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, nos encontramos con la ecuación $-\dfrac{2}{3x^2}+4\,\pi\,x=0$, es decir, $\dfrac{12\,\pi\,x^3-2}{3x^2}=0 \Leftrightarrow 12\,\pi\,x^3-2=0 \Rightarrow x^{*}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{6\,\pi}}\,\text{dm}=\dfrac{100}{{\sqrt[3]{6\,\pi}}}\,\text{mm}\approx 37,6\,\text{mm}$. Se comprueba que este extremo relativo corresponde a un mínimo relativo, pues la primera derivada en un punto próximo a su izquierda es negativa, y a su derecha es positiva. El valor de $h^{*}$ lo calculamos sustituyendo la abcsisa del extremo relativo en (1), y, al simplificar el resultado, encontramos $h^{*}=\sqrt[3]{\dfrac{4}{3\,\pi}}=\sqrt[3]{\dfrac{8}{6\,\pi}}= \dfrac{2}{\sqrt[3]{6\,\pi}}=2\,r^{*} \approx 75,2\,\text{mm}$, dimensiones que se alejan notablemente de las de una lata de refresco ( de las habituales ); acaso, es por razones de márqueting a la hora de venderlas. ¿ No sería mejor ahorrar en chapa de aluminio ?. Yo creo que sí. Incluso sería mucho mejor utilizar envases de vidrio reutilizables ( botellas ). ¿ No os parece ?. $\square$
Se quiere fabricar un bote cilíndrico con chapa de aluminio que tenga una capacidad de 1/3 de litro. Calcúlese el valor del radio de la base y el de la longitud de la generatriz para que la cantidad de chapa requerida sea mínima.
SOLUCIÓN
Denotempos por $x$ el radio del cilindro. Entonces $1/3=\pi\,x^2\,h$, donde $h$ es la altura. Así, $h=\dfrac{1}{3\,\pi\,x^2} \quad \quad (1)$. Designemos por $f(x)$ la función que proporciona el área total del cilindro ( dos veces el área de la base - hay dos tapas - más el área lateral, que es la de un rectángulo - ), por lo que podemos escribir $f(x)=2\pi\,x \cdot \dfrac{1}{3\,\pi\,x^2}+2\,\pi\,x^2$, esto es, $f(x)=\dfrac{2}{3x}+2\,\pi\,x^2$. Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $f'(x)=0$, nos encontramos con la ecuación $-\dfrac{2}{3x^2}+4\,\pi\,x=0$, es decir, $\dfrac{12\,\pi\,x^3-2}{3x^2}=0 \Leftrightarrow 12\,\pi\,x^3-2=0 \Rightarrow x^{*}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{6\,\pi}}\,\text{dm}=\dfrac{100}{{\sqrt[3]{6\,\pi}}}\,\text{mm}\approx 37,6\,\text{mm}$. Se comprueba que este extremo relativo corresponde a un mínimo relativo, pues la primera derivada en un punto próximo a su izquierda es negativa, y a su derecha es positiva. El valor de $h^{*}$ lo calculamos sustituyendo la abcsisa del extremo relativo en (1), y, al simplificar el resultado, encontramos $h^{*}=\sqrt[3]{\dfrac{4}{3\,\pi}}=\sqrt[3]{\dfrac{8}{6\,\pi}}= \dfrac{2}{\sqrt[3]{6\,\pi}}=2\,r^{*} \approx 75,2\,\text{mm}$, dimensiones que se alejan notablemente de las de una lata de refresco ( de las habituales ); acaso, es por razones de márqueting a la hora de venderlas. ¿ No sería mejor ahorrar en chapa de aluminio ?. Yo creo que sí. Incluso sería mucho mejor utilizar envases de vidrio reutilizables ( botellas ). ¿ No os parece ?. $\square$
domingo, 31 de enero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 1 al 7 de febrero
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sábado, 23 de enero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 25 al 31 de enero
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sábado, 16 de enero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 18 al 24 de enero
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domingo, 10 de enero de 2021
Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 11 al 17 de enero
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