Integral definida de la función piso

Nos proponemos calcular la integral $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx$$, siendo $n$ un número entero positivo, y donde $\left \lfloor x \right \rfloor$ denota la función piso (o suelo), que, para todo número real $x$, se define como $\left \lfloor x \right \rfloor = \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$

Ensayemos esta integral para fijando un valor de $n$, pongamos que $n=4$, para ver lo que ocurre. Al tratarse de una función a trozos, con un número finito —y, por tanto, numerable— de discontinuidades, la función $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$ es integrable Riemann. Podéis ver en la siguiente figura la gráfica realizada con GeoGebra (tecleando $\text{floor}(x)$ —que corresponde a la sintaxis de la función piso en la mayor parte de los programas y calculadoras— en la línea de entrada), si bien también podemos hacerlo a mano sin muchas dificultades:

Por otra parte, podemos servirnos del cálculo automático que nos ofrece WolframAlpha para saber qué encontraremos. Veámoslo en esta segunda figura, que he obtenido tecleando en la casilla de entradas de WolframAlpha lo siguiente: $$\text{integrate}(\text{floor}(x),x,0,4)$$:

Reproduzcamos ahora este resultado, paso a paso: $\displaystyle \int_{0}^{4}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx=\int_{0}^{1}\,0\,dx+\int_{1}^{2}\,1\,dx+\int_{2}^{3}\,2\,dx+\int_{3}^{4}\,4\,dx$
  $\displaystyle=0+\left[x\right]_{1}^{2}+\left[x\right]_{2}^{3}+\left[x\right]_{3}^{4}$
    $\displaystyle=0+(2-1)+(3-2)+(4-3)$
      $=0+1+2+3$
       $=6$

Observemos que los términos entre paréntesis de la penúltima línea de arriba están en progresión aritmética, cuya diferencia es $d=1$, el primer término tiene valor $0$ y el cuarto $6$, y, por tanto, bien podemos escribir que $\displaystyle \int_{0}^{4}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx= \dfrac{(0+ 3)\cdot 4}{2}=6$ lo cual nos hace pensar en inducir una fórmula general para la integral $\displaystyle \int_{0}^{n}\,\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$, con $n$ un número entero positivo, pues, visto cómo se ha desarrollado el cálculo de la integral definida pedida entre $0$ y $4$, fácilmente inducimos el siguiente resultado para esta otra, más general, cuyo resultado consta de $n$ términos de una progresión aritmética, con primer término, también, igual a $0$, diferencia igual a $1$, y último término igual a $0+1\cdot(n-1)=n-1$: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx=(0+1+2+3+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+n-1=\dfrac{(0+(n-1))\,n}{2}=\dfrac{n^2-n}{2}$$ Notemos que, si $n=4$, obtenemos el resultado ya sabido: $\dfrac{n^2-n}{2}=\dfrac{4^2-4}{2}=\dfrac{12}{2}=6$, como debe ser.

También podemos llegar directamente a este resultado general haciendo un poco de álgebra con sumatorios: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx\overset{(1)}{=}\sum_{k=0}^{n-1}\,\int_{k}^{k+1}\,k\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}k\,\int_{k}^{k+1}\,dx=\sum_{k=0}^{n-1}k\,\left[x\right]_{k}^{k+1}=\sum_{k=0}^{n-1}k\,(k+1-k)\overset{(2)}{=}\sum_{k=0}^{n-1}k=\dfrac{(0+(n-1))\cdot n}{2}$$ y simplificando, $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,\left \lfloor x \right \rfloor\,dx=\dfrac{n^2-n}{2}$$ Aclaraciones:
  (1): Entre $k=0$ y $k=n-1$ tenemos los $n$ sumandos del desarrollo
  (2): Recordemos que el término $n$-ésimo de una sucesión aritmética de diferencia $d$ y primer término $a_1$ es $a_n=a_1+d\,(n-1)$, y que la suma de los $n$ (sucesivos) primeros términos de dicha sucesión es $\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$. De ahí que la suma de los $n$ sucesivos primeros términos de una sucesión aritmética de primer término igual a $0$, diferencia igual a $1$, y último término igual a $n-1$ es $\dfrac{(0+(n-1))\cdot n}{2}$

Comentario: No siempre podremos evitar los desarrollos si empleamos herramientas de cálculo automático. Démonos cuenta de que al pedir a WolframAlpha que nos de directamente el resultado que acabamos de obtener, tecleando $$\text{integrate}(\text{floor}(x),x,0,n)$$ no obtenemos nada en claro:

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