Cálculo de límites de sucesiones

Enunciado:
Calcúlese el siguiente límite:
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}$

Resolución:
Podemos simplificar algo la expresión de la forma
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\cdot 2^{n}+3\cdot 3^{n}}{2^{n}+3^{n}}$

Observemos que al pasar al límite nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty / \infty$
Para resolverla dividiremos el numerador y el denominador por $3^{n}$. Con ello tendremos
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^{n}+3^{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,\dfrac{2\,\big(\frac{2}{3}\big)^n+3}{\big(\frac{2}{3}\big)^n+1}$
Y, puesto que la base de las potencias es menor que $1$, volviendo a pasar al límite obtenemos el resultado:
$$\dfrac{2\cdot (2/3)^\infty+3}{(2/3)^{\infty}+1}\overset{2/3 \lt 1}{=}\dfrac{2\cdot 0+3}{0+1}=3$$
$\square$