En una investigación ...

ENUNCIADO. En una investigación de un delito de fraude se observa (en el lugar de los hechos) que: la evidencia $A$ aparece en una proporción del $60\,\%$; la evidencia $B$, habiéndose dado la evidencia $A$, aparece en una proporción del $80\,\%$; y, no habiéndose dado la evidencia $A$, la evidencia $B$ se observa en un $40\,\%$. Se pide:

a) ¿ En qué proporción aparece $B$ ?
b) ¿ En qué proporción no aparece ninguna de dichas evidencias
c) No habiendo observado la evidencia $B$, ¿ en qué proporción no aparece la evidencia $A$ ?
d) ¿ En qué proporción aparece una sola de las dos evidencias ?
e) ¿ En qué proporción aparece alguna de las dos evidencias ?

SOLUCIÓN.
Los datos del problema son:
$P(A)=0,6$
$P(B|A)=0,8$
$P(B|\bar{A})=0,4$

Emplearemos: la fórmula de la probabilidad condicionada; el teorema de la probabilidad total, y algunas de las propiedades con sucesos.

a)
$P(B)=P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
  $=0,8\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
    $=0,64=64\,\%$

b)
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{B} \cap \bar{A})=P(\bar{B}|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
  $=(1-P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
    $=(1-0,4)\cdot (1-0,6)$
      $=0,24=24\,\%$

c)
$P(\bar{A} | \bar{B})=\dfrac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
  $=\dfrac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{1-P(B)}$
    $=\dfrac{0,24}{1-0,64}$
      $=\dfrac{2}{3}\approx 67\,\%$

d)
$P((A\cap \bar{B}) \cup ( \bar{A} \cap B))=P(A-B)+P(B-A)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(\bar{A} \cap B)$
  $=P(\bar{B}\cap A)+P(B \cap \bar{A})$
    $=P(\bar{B}|A)\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot P(\bar{A})$
      $=(1-P(B|A))\cdot P(A)+P(B|\bar{A})\cdot (1-P(A)$
        $=(1-0,8)\cdot 0,6+0,4\cdot (1-0,6)$
          $=0,28=28\,\%$

e)
$P(A \cup B)=1-P(\bar{A} \cap \bar{B})$
  $=1-0,24$
    $=0,76=76\,\%$

$\square$

Paradoja de la Caja de Bertrand (1889)

ENUNCIADO. Una urna $U_1$ contiene dos bolas blancas; otra urna $U_2$ contiene dos bolas negras; y una tercera urna $U_3$ contiene una bola blanca y una bola negra. Se elige una urna al azar y se extrae una primera bola de la misma, que resulta ser blanca. Se extrae a continuación una segunda bola de la misma urna. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas ?. [Joseph Bertrand, 1822-1900]

SOLUCIÓN. En contra de lo que se podría responder ( sin un detenida reflexión ), la probabilidad pedida no es igual a $1/2$ sino a $2/3$. Vamos a justificarlo.
Denotemos por $B_1$ al suceso obtener bola blanca en la primera extracción y $B_2$ al suceso obtener bola blanca en la segunda extracción. Denominaremos $U_1$, $U_2$ y $U_3$ a los sucesos, elegir la urnas respectivas. Entonces, la probabilidad pedida se escribirá
$$P(B_2|B_1)=\dfrac{P(B_2 \cap B_1)}{P(B_1)} \quad \quad (1)$$ Notemos que $P(B_2 \cap B_1)=P(U_1)=\dfrac{1}{3}$ puesto que obtener dos bolas blancas de la misma urna sólo puede ser posible si se ha elegido la urna $U_1$.

Por otra parte,
$P(B_1)=P(B_1|U_1)\cdot P(U_1)+P(B_1|U_2)\cdot P(U_2)+P(B_1|U_3)\cdot P(U_3)$
  $=1\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$

Por consiguiente, sustituyendo en (1) lo calculado, llegamos a $$P(B_2|B_1)=\dfrac{1/3}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$
$\square$