Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B ...

Eunciado:
Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ bolas negras; la urna B contiene $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es '1' o '2' extraemos una bola de la urna A; en caso contrario extraemos una bola de la urna B.
(a) ¿ Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja ?
(b) Si la bola extraída es roja, ¿ cuál es la probabilidad de que sea de la urna A ?

Solución:
(a)
Denotamos por $R$ el suceso "extraer bola roja"; por $A$, elegir la urna A; y, por $B$, elegir la unra B.

Entendemos el espacio muestral como $\Omega=\{A,B\}$, por tanto $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ es el espacio de probabilidad, donde $R \subset \mathcal{A}$ es un suceso compuesto, esto es $R = (R\cap A) \cup (R \cap B)$ de tal modo que $(R \cap A) \cap (R \cap B) = \varnothing$, es decir, $R \cap A$ y $R \cap B$ son sucesos incomptatibles. En estas condiciones podemos escribir
$$P(R)=P\big((R \cap A) \cup (R \cap B)\big)=P(R \cap A)+P( R \cap B)$$
y por la definición de probabilidad condicionada, $P(R \cap A)=P(R|A)\,P(A)$ y $P(R \cap A)=P(R|B)\,P(B)$
por consiguiente $P(R)=P(R|A)\,P(A)+P(R|B)\,P(B)$       (1) ( Teorema de la Probabilidad Total )

donde:
    $P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ ( principio de Laplace )
    $P(B)=1-P(A)=\dfrac{2}{3}$ ( probabilidad del suceso contrario, ya que $A \cup B = \Omega$ y $A \cap B = \varnothing$ )
    $P(R|A)=\dfrac{3}{5}$ y $P(R|B)=\dfrac{2}{5}$ ( principio de Laplace )

Así, pues, de (1), $P(R)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{15}$

(b)
Como $P(R \cap A)=P(A \cap R)$, aplicando la definición de probabilidad condicionada ha de cumplirse $P(R|A)\,P(A)=P(A|R)\,P(R)$, por lo cual $P(A|R)=\dfrac{P(R|A)\,P(A)}{P(R)}$ ( Teorema de Bayes ). Así, pues, con los datos del problema: $P(A|R)=\dfrac{\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{7}{15}}=\dfrac{3}{7}$

Nota:   He prescindido de la representación del diagrama de árbol ( por haberla utilizado ya muchas veces ) en favor del lenguaje formal; aunque el problema se daria también por bien resuelto mediante el primer camino ( prescindiendo del lenguaje formal ) siempre que los razonamientos expresados fuesen correctos, al igual que los cálculos aritméticos.

$\square$

[nota del autor]