Eunciado:
Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ bolas negras; la urna B contiene $2$ bolas rojas y $3$ bolas negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es '1' o '2' extraemos una bola de la urna A; en caso contrario extraemos una bola de la urna B.
(a) ¿ Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja ?
(b) Si la bola extraída es roja, ¿ cuál es la probabilidad de que sea de la urna A ?
Solución:
(a)
Denotamos por $R$ el suceso "extraer bola roja"; por $A$, elegir la urna A; y, por $B$, elegir la unra B.
Entendemos el espacio muestral como $\Omega=\{A,B\}$, por tanto $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ es el espacio de probabilidad, donde $R \subset \mathcal{A}$ es un suceso compuesto, esto es $R = (R\cap A) \cup (R \cap B)$ de tal modo que $(R \cap A) \cap (R \cap B) = \varnothing$, es decir, $R \cap A$ y $R \cap B$ son sucesos incomptatibles. En estas condiciones podemos escribir
$$P(R)=P\big((R \cap A) \cup (R \cap B)\big)=P(R \cap A)+P( R \cap B)$$
y por la definición de probabilidad condicionada, $P(R \cap A)=P(R|A)\,P(A)$ y $P(R \cap A)=P(R|B)\,P(B)$
por consiguiente $P(R)=P(R|A)\,P(A)+P(R|B)\,P(B)$ (1) ( Teorema de la Probabilidad Total )
donde:
$P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ ( principio de Laplace )
$P(B)=1-P(A)=\dfrac{2}{3}$ ( probabilidad del suceso contrario, ya que $A \cup B = \Omega$ y $A \cap B = \varnothing$ )
$P(R|A)=\dfrac{3}{5}$ y $P(R|B)=\dfrac{2}{5}$ ( principio de Laplace )
Así, pues, de (1), $P(R)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{15}$
(b)
Como $P(R \cap A)=P(A \cap R)$, aplicando la definición de probabilidad condicionada ha de cumplirse $P(R|A)\,P(A)=P(A|R)\,P(R)$, por lo cual $P(A|R)=\dfrac{P(R|A)\,P(A)}{P(R)}$ ( Teorema de Bayes ). Así, pues, con los datos del problema: $P(A|R)=\dfrac{\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{7}{15}}=\dfrac{3}{7}$
Nota: He prescindido de la representación del diagrama de árbol ( por haberla utilizado ya muchas veces ) en favor del lenguaje formal; aunque el problema se daria también por bien resuelto mediante el primer camino ( prescindiendo del lenguaje formal ) siempre que los razonamientos expresados fuesen correctos, al igual que los cálculos aritméticos.
$\square$
viernes, 4 de julio de 2014
Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$ ...
Enunciado:
Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$:
$$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&a\\
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\
\end{matrix}\right\}$$
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de $a$
(b) Resuélvase el sistema en el caso $a=-1$
Solución:
(a)
[Forma 1]
Nos proponemos reducir el sistema de ecuación por Gauss, para ello, empezamos intercambiando ( por comodidad ) la primera ecuación por la tercera e iniciamos los pasos de reducción para obtener un sistema equivalente escalonado y, así, hacer el estudio de rangos para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&a\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
& + & y & + & (2-3\,a)\,z&=&a-6\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
& & -y & + & (2\,a+1)\,z&=&1\\
& & y & + & (2-3\,a)\,z&=&a-6\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
e_2+e_3 \rightarrow e_3\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
& & -y & + & (2\,a+1)\,z&=&1\\
& & & & (-a+3)\,z&=&a-5\\
\end{matrix}\right\} $$
A partir del sistema equivalente escalonado se plantean los siguientes casos:
1. Si $a=3$ la tercera ecuación es $0\cdot z = -2$, es decir $0=-2$, igualdad que es absurda, luego para este valor de $a$ el sistema es incompatible [ en otras palabras, si $a=3$ el rango de la matriz de los coeficientes $A_{3 \times 3}$ es distinto del rango de la matriz ampliada $\tilde{A}=(A|b)_{3 \times 4}$ -- siendo $b$ la matriz columna de los términos independientes --, con lo cual, por el Teorema de Rouché, podemos afirmar que el sistema es incompatible ].
2. En cualquier otro caso ( $a \neq 3 $ ) el rango del sistema de ecuaciones es $3$ ( las tres ecuaciones son linealmente independientes ) y dicho rango es igual al número de incógnitas, por lo que, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado, y, por tanto, existe una única solución.
-oOo-
[Forma 2]
En esta forma alternativa de resolución, realizaremos el estudio de rangos mediante el estudio de los menores complementarios de la matriz de los coeficientes del sistema $A$ y de la matriz de los coeficientes ampliada con el vector columna de los términos independientes $\tilde{A}$.
Las matrices $A$ y $\tilde{A}$ son
$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
3 & 4 & 2 \\
2 & 3 & -1 \\
\end{array}\right) \quad \text{y} \quad \tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & a & 2 \\
3 & 4 & 2 & a\\
2 & 3 & -1 & 1\\
\end{array}\right)$, respectivamente
Observemos que el menor de orden $2$ de $\tilde{A}$ formado por los coeficientes de las filas segunda y tercera, y las columnas primera y segunda es distinto de $0$
$$\left|\begin{array}{cc}
3 & 4 \\
2 & 3 \\
\end{array}\right| = 9-8 = 1 \neq 0$$
de donde se sigue que tanto el rango de $A$ con de $\tilde{A}$ son mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $3$
Orlando dicho menor, se obtienen dos menores de un orden superior, es decir, de orden $3$ ( que escribimos a continuación ), los cuales vamos a calcular ( los resultados vendrán en función de $a$ ) para acabar de investigar los rangos:
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
3 & 4 & 4\\
2 & 3 & -1\\
\end{array}\right| = a-3$$
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
3 & 4 & a\\
2 & 3 & -1\\
\end{array}\right| = 1-a$$
Iniciemos, ahora, la discusión de rangos de acuerdo con las propiedades del rango relacionadas con el valor de los menores de las matrices, clasificando el sistema de acuerdo con la tesis del Teorema de Rouché:
1. Si $a=3$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)\prec 3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego, como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ el sistema es incompatible.
2. Si $a\neq 3$ entonces, para cualquier otro valor de $a$, $\Delta_1 \neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3$ ( sistema compatible ), valor que coincide con el número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado y, por tanto, tiene una única solución.
Observación:
2.1 En el caso que $a=1$ estamos en el caso general de 2 y no hay nada que decir.
(b)
Si $a=-1$ nos encontramos en el caso 2 y, por tanto, el sistema es compatible determinado; procedemos a resolverlo por el método de reducción de Gauss:
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&1\\
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & y & - & 3\,z&=&-3\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
e_3-e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & & & -2\,z&=&2\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
\\ (-1)\cdot e_3 \rightarrow e_3
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
e_2+e_3 \rightarrow e_2\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
e_1-e_3 \rightarrow e_1\\
\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
e_1-e_2 \rightarrow e_1\\
\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & & & & &=&9\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
$
$\square$
Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$:
$$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&a\\
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\
\end{matrix}\right\}$$
(a) Discútase el sistema según los diferentes valores de $a$
(b) Resuélvase el sistema en el caso $a=-1$
Solución:
(a)
[Forma 1]
Nos proponemos reducir el sistema de ecuación por Gauss, para ello, empezamos intercambiando ( por comodidad ) la primera ecuación por la tercera e iniciamos los pasos de reducción para obtener un sistema equivalente escalonado y, así, hacer el estudio de rangos para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&a\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
-3\,e_1+e_3 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
x & + & y & + & a\,z&=&2\\
& + & y & + & (2-3\,a)\,z&=&a-6\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
& & -y & + & (2\,a+1)\,z&=&1\\
& & y & + & (2-3\,a)\,z&=&a-6\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
e_2+e_3 \rightarrow e_3\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$$\left.\begin{matrix}
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
& & -y & + & (2\,a+1)\,z&=&1\\
& & & & (-a+3)\,z&=&a-5\\
\end{matrix}\right\} $$
A partir del sistema equivalente escalonado se plantean los siguientes casos:
1. Si $a=3$ la tercera ecuación es $0\cdot z = -2$, es decir $0=-2$, igualdad que es absurda, luego para este valor de $a$ el sistema es incompatible [ en otras palabras, si $a=3$ el rango de la matriz de los coeficientes $A_{3 \times 3}$ es distinto del rango de la matriz ampliada $\tilde{A}=(A|b)_{3 \times 4}$ -- siendo $b$ la matriz columna de los términos independientes --, con lo cual, por el Teorema de Rouché, podemos afirmar que el sistema es incompatible ].
2. En cualquier otro caso ( $a \neq 3 $ ) el rango del sistema de ecuaciones es $3$ ( las tres ecuaciones son linealmente independientes ) y dicho rango es igual al número de incógnitas, por lo que, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado, y, por tanto, existe una única solución.
[Forma 2]
En esta forma alternativa de resolución, realizaremos el estudio de rangos mediante el estudio de los menores complementarios de la matriz de los coeficientes del sistema $A$ y de la matriz de los coeficientes ampliada con el vector columna de los términos independientes $\tilde{A}$.
Las matrices $A$ y $\tilde{A}$ son
$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a \\
3 & 4 & 2 \\
2 & 3 & -1 \\
\end{array}\right) \quad \text{y} \quad \tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & a & 2 \\
3 & 4 & 2 & a\\
2 & 3 & -1 & 1\\
\end{array}\right)$, respectivamente
Observemos que el menor de orden $2$ de $\tilde{A}$ formado por los coeficientes de las filas segunda y tercera, y las columnas primera y segunda es distinto de $0$
$$\left|\begin{array}{cc}
3 & 4 \\
2 & 3 \\
\end{array}\right| = 9-8 = 1 \neq 0$$
de donde se sigue que tanto el rango de $A$ con de $\tilde{A}$ son mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $3$
Orlando dicho menor, se obtienen dos menores de un orden superior, es decir, de orden $3$ ( que escribimos a continuación ), los cuales vamos a calcular ( los resultados vendrán en función de $a$ ) para acabar de investigar los rangos:
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
3 & 4 & 4\\
2 & 3 & -1\\
\end{array}\right| = a-3$$
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
3 & 4 & a\\
2 & 3 & -1\\
\end{array}\right| = 1-a$$
Iniciemos, ahora, la discusión de rangos de acuerdo con las propiedades del rango relacionadas con el valor de los menores de las matrices, clasificando el sistema de acuerdo con la tesis del Teorema de Rouché:
1. Si $a=3$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)\prec 3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego, como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ el sistema es incompatible.
2. Si $a\neq 3$ entonces, para cualquier otro valor de $a$, $\Delta_1 \neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3$ ( sistema compatible ), valor que coincide con el número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado y, por tanto, tiene una única solución.
Observación:
2.1 En el caso que $a=1$ estamos en el caso general de 2 y no hay nada que decir.
(b)
Si $a=-1$ nos encontramos en el caso 2 y, por tanto, el sistema es compatible determinado; procedemos a resolverlo por el método de reducción de Gauss:
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
3\,x & + & 4\,y & + & 2\,z&=&1\\
2\,x & + & 3\,y & - & z&=&1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & y & - & 3\,z&=&-3\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
e_3-e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & & & -2\,z&=&2\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
\\
\\ (-1)\cdot e_3 \rightarrow e_3
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & - & z&=&-5\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
\\
e_2+e_3 \rightarrow e_2\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & + & z&=&2\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
e_1-e_3 \rightarrow e_1\\
\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & + & y & & &=&3\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
\begin{matrix}
e_1-e_2 \rightarrow e_1\\
\\
\\
\end{matrix}
\quad \quad \sim$
$\left.\begin{matrix}
x & & & & &=&9\\
& & y & & &=&-6\\
& & & & z&=&-1\\
\end{matrix}\right\}
$
$\square$
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