Enunciat:
Un examen test consta de $100$ preguntes. Cada pregunta que es contesta bé val $+4$ punts; cada pregunta en blanc compta $-1$ punt, i cada pregunta mal contestada val $-3$ punts. Es considera que l'examen s'aprova si la puntuació és igual o superior a $100$ punts. Es demana:
a) Quantes i de quines maneres es pot obtenir una puntuació total que sigui exactament igual a $100$ punts ?
b) Quin és el nombre màxim de preguntes que podem deixar en blanc per tal que puguem aprovar l'examen ?
Solució:
a)
Anomenem:
$b$: nombre de preguntes en blanc
$c$: nombre de preguntes amb resposta correcta
$i$: nombre de preguntes amb resposta incorrecta
Llavors, d'acord amb la condició expressada, podem escriure el següent sistema de dues equacions amb tres incògnites
$\left.\begin{matrix}4c-b-3i=100\\\\c+b+i=100 \end{matrix}\right\}$
Tenint en compte que les dues equacions són independents, el sistema és compatible indeterminat, per tant podem prendre una de les tres variables - per exemple, $b$ - com un paràmetre ( que designarem per $\lambda$ ) i tornar a escriure'l de la forma
$\left.\begin{matrix}4c-3i=100+\lambda\\\\c+i=100-\lambda \end{matrix}\right\}$
I, resolent-lo ( per reducció ), trobem que per als valors de
$b \equiv \lambda=0,1,2,\ldots,100$
arribem a
$c=\dfrac{400-2\lambda}{7}$
$i=\dfrac{300-5\lambda}{7}$
Per trobar aquests valors es recomana (per comoditat) fer ús d'un full de càlcul; les següents nou ternes $\{(b,c,i)\}$ són les úniques solucions:
$\{(b,c,i)\}$
=========
$(4,56,40)$
$(11,54,35)$
$(18,52,30)$
$(25,50,25)$
$(32,48,20)$
$(39,46,15)$
$(46,44,10)$
$(53,42,5)$
$(60,40,0)$
b)
De la llista de solucions que acabem de calcular veiem que el nombre màxim de preguntes que podem deixar en blanc per tal que puguem aprovar l'examen és $b=60$ (última terna de la llista).
Observació:
Remarquem el fet que:
i) en la seqüència de les nou solucions, els valors de $b$ segueixen una successió aritmètica creixent de diferència igual a $7$ ( de $b=4$ fins a $b=60$ )
ii) en la seqüència de les nou solucions, els valors de $c$ segueixen una successió aritmètica decreixent de diferència igual a $-2$ ( de $c=56$ fins a $c=40$
iii) en la seqüència de les nou solucions, els valors de $i$ segueixen una successió aritmètica decreixent de diferència igual a $-5$ ( de $c=40$ fins a $c=0$
)
$\square$
